Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppeiltheorie. 15
Durch ä gehe (St II) av in (St IX) au und speziell av in afi aus
(St II) af/ über. Dann definieren wir a folgendermaßen:
für die Klassen St’ av, die mit IX Elemente gemein haben,, gehe av
in a/(, für alle andern Klassen av in sich über. Aus Zusatz 3 des Satz 1
folgt, daß hierdurch eine gesuchte Abbildung a bestimmt ist.
Bei dieser Abbildung von U auf U wird jedem Element von U
wenigstens eines von U zugeordnet, zwei Elementen u15 u2 von U dann
und nur dann dasselbe aus U, wenn ux und u2 dieselbe Abbildung von IX
induzieren, d. h. wenn ux u2_1 die identische Abbildung von II induziert.
C. Die anderen Behauptungen folgen hieraus ohne weiteres unter
Berücksichtigung von Satz 4 und 3.
Unter Berücksichtigung von Satz 3, Zusatz zu Satz 3, Satz 4, Satz 6
folgt noch aus Satz 7:
Zusatz I: Dann und nur dann läßt sich IX durch Untergruppen von
M darstellen, wenn IX von der singulären Mischgruppe verschieden ist.
Zusatz 2: Jede Darstellung || A/B || von IX ist homomorph einer
Untergruppe U* von U bzw. M, die zu IX konform ist; hierbei ist dem größten
in B enthaltenen Normalteiler N von A die Gesamtheit N* der Elemente
von U* zugeordnet, die IX invariant lassen; N* ist ebenfalls Normalteiler
von U* und in U* E enthalten.
Zusatz 3 : Jede zu U konforme Untergruppe!!* von M ist Untergruppe
von U, der größten U in sich überführenden Untergruppe von M.
§ 3. Die Isomorphismen.
Satz I: Die Gruppe der den Kern St invariant lassenden Isomor-
phismen von 9k auf sich ist gleich der Gruppe E aller den Kern St invariant
lassenden ähnlichen Abbildungen von 9k auf sich. Es gilt also:
E = J ~ M,
wenn J die Gruppe aller Isomorphismen, M die aller ähnlichen Abbildungen
von 9k auf sich ist.
Wir haben zu zeigen: ein Isomorphismus ist dann und nur dann eine
ähnliche Abbildung, wenn er den Kern invariant läßt.
Die Notwendigkeit dieser Bedingung folgt aus Zusatz 1 des Satz 1
des § 2, da bei Isomorphismen stets die Identität von St invariant bleibt.
Läßt aber der Isomorphismus a den Kern St invariant und führt er
a in a' über, so führt er für jedes Kernelement t— da ja f = f ist — t a
in f a' über, ist also eine ähnliche Abbildung.
Satz 2: E ist ein Normalteiler von J und J / E ist isomorph der
Gruppe aller Isomorphismen von auf sich.