Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

Dieser Satz ist ein Gegenstück zu Satz 3 des § 2.
Ist e ein Element aus E und a eines aus J, so geht bei a das Element
f aus St' wegen Satz 4 des § 1 in ein Element t' aus Ä über, während bei e
auch f in sich, bei a e a_1 also f in sich übergeht, a e a_1 also zu E gehört.
Weiter gehören zwei Isomorphismen aus J dann und nur dann zur
gleichen Klasse nach E, wenn sie den gleichen Autoisomorphismus von
St bewirken; daß aber jeder durch Elemente aus J bewirkt wird, folgt
sofort aus Satz 4 des § 1; nach diesem Satz kann ja jeder Isomorphismus
von St auf sich zu einem von 9k auf sich erweitert werden.
Satz 3: Ist F die Untergruppe von E, bei der jede Klasse von 9k nach St in
sich übergeht, so ist
1. F Normalteiler von E und
2. E / F isomorph der Gruppe aller eineindeutigen Abbildungen von || 9k / St |j
auf sich, bei denen S sich selbst zugeordnet wird.
Sei e ein beliebiges Element aus E, f eines aus F und gehe bei e die Klasse
St a in $ a' über; da bei f aber St a' in sich übergeht, so geht bei e f e_1 auch
St u in sich über.
2. folgt jetzt daraus, daß zwei Abbildungen aus E dann und nur dann zur
gleichen Klasse nach F gehören, wenn sie die gleiche Abbildung von || 9k / St j|
bewirken; daß jede Abbildung, die sich selbst zuordnet, vorkommt, folgt aus
Satz 4 des § 1 oder Zusatz 3 des Satz 1 des § 2.
Zusatz: Ist F die Untergruppe von J, bei der || 9k / St || , E die von F, bei
der ® invariant bleibt, so ist
1. F Normalteiler von J, E von F und
2. J / F = E / F und F / E = J / E.1)
Der Beweis ist ebenso zu führen wie der der Sätze 2 und 3, wenn man noch
bedenkt, daß bei Isomorphismen stets St in sich übergehen muß.
Satz 4: 1. Ist Fe die Untergruppe von F, bei deren Abbildungen fast alle2)
Klassen von 9k nach $ invariant bleiben, so ist dann und nur dann Fe = F,
wenn entweder $ nur aus der Identität oder || 9k / ft || nur aus endlich vielen
Klassen besteht3).
2. Ist Fey die Untergruppe von Fe, die alle Klassen nach St außer ® av 4 St.
invariant läßt, so ist FeV isomorph zu St.
3. Fe ist das direkte Produkt aller Fey.
ad 1: Besteht ft1 nur aus der Identität, so auch F und Fe. Ist || 9k / ft ||
endlich, so ist jedes Element von F auch Element von Fe.
Ist || 9k / St || aber unendlich und besteht St nicht nur aus der Identität,
so gibt es wegen Satz 4 des § 1 Elemente in F, aber nicht in Fe, die unendlich viele
Klassen von 9k nach ft in sich bewegen.
x) Statt Gleichheit wäre genauer Isomorphie zu setzen; jedoch stellen beide
Faktorgruppen die gleichen Abbildungsgruppen dar.
2) d. h. alle mit endlich vielen Ausnahmen.
3) Faßt man F in geeigneter Weise als topologischen Gruppenraum auf, so
wird F die abgeschlossene Hülle von Fe.