Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Komplementäre Körper
der beiden nicliteuklidischen Geometrien.
Einleitung.
Die komplementäre Zuordnung in der hyperbolischen Ebene ist
eine doppelte, erstens die zwischen Strecken, zweitens die zwischen
Strecken und Winkeln. Mißt man diese durch den Kreisbogen, so erhält
man sofort eine Beziehung zur sphärischen Geometrie auf derjenigen
Kugel, wo dieser Kreisbogen geodätische Linie ist. Das läßt sich für
beliebige Dimensionen erweitern.
Komplementäre Figuren im Sinne von Lobatscheffskij sind solche,
die sich aus denselben oder aus komplementären Stücken in verschiede-
ner Anordnung zusammensetzen lassen. Sämtliche Seiten und Winkel
der einen Figur müssen in derselben oder komplementären Form in der
andern auftreten, die Zahl der rechten Winkel kann nach bestimmten
Gesetzen variieren. Schneidet man solche Figuren durch Kreise und
Abstandslinien, so entstehen auf diesen zugeordnete sphärische und
hyperbolische Strecken.
Gehen wir zum Kaum über, so gelangen wir zu komplementären
Körpern. Sämtliche Kanten, Winkel und Seitenflächen sollen einander
in dem oben bezeichneten Sinne entsprechen, es dürfen in keinem Körper
Stücke auf treten, die nicht auch im andern enthalten sind. Schnitte
mit Kugeln und Abstandsflächen werden zugeordnete hyperbolische
und sphärische Figuren ergeben. Wenn wir das Prinzip weiter verfolgen,
so müßten aus dem vierdimensionalen Raum sich hyperbolische und
sphärische Körper herausschneiden lassen.
Die entsprechenden sphärisch-elliptischen Körper lassen sich leicht
ermitteln. Es ergibt sich dabei noch ein merkwürdiges Vertauschungs-
gesetz der Gebilde jeder Stufe.
§ 1.
Hyperbolische Körper.
In einem rechtwinkligen dreiaxigen Koordinatensystem denken wir
uns die drei Lote auf die Koordinatenebenen gefällt. Es entsteht ein
Körper, der von sechs Spitzecken begrenzt wird.

1*