Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull;

von Satz 2 vermute ich gleichfalls, ohne sie aber bisher beweisen zu können.
Satz 3 dagegQji braucht im allgemeinen hall nicht immer richtig zu sein.1)
Das gewonnene Ergebnis ist nicht nur an sich bemerkenswert, sondern
auch durch einige zu seiner Herleitung nötige Hilfssätze, die selb-
ständiges Interesse bieten dürften. Zunächst handelt es sich (in § 2)
um eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes, daß in einem Ring
ohne Nullteiler die Idealgleichung a2 = a nur durch das Einheitsideal
und das Nullideal befriedigt wird. Daraus ergibt sich dann weiter (gleich-
falls in § 2) der Satz, daß in einem „primären“2) Ring das kleinste ge-
meinschaftliche Vielfache der sämtlichen zu einem festen vom Einheits-
ideal o verschiedenen Primideal p gehörigen Primärideale gleich dem
Nullideal ist, eine Tatsache, die in der Anwendung auf den Polynom-
ring )ß einen einfachen Beweis einer Lasker-Macaulayschen Verallge-
meinerung des Noetherschen Fundamentalsatzes3) liefert (§4).
Schließlich ist noch folgende (in § 3 bewiesene) Tatsache hervor-
zuheben, die den entscheidenden Schritt auf dem Wege zum Beweis
des Primidealvielfachenkettensatzes darstellt: Ist 94 ein Ring ohne Null-
teiler, 1) ein vom Null- und Einheitsideal verschiedenes Hauptideal,
p ein Primideal, das Teiler von f) ist, aber kein echtes Primidealviel-
faches mit der gleichen Eigenschaft besitzt, so gibt es in 94 außer dem
Nullideal überhaupt kein echtes Primi deal vielfaches von p.
Die Anwendung dieses Satzes auf Polynomringe iß liefert: Es sei
p ein Primideal aus )ß von der „Dimension“ m4), p irgendein durch p
unteilbares Polynom. Dann besitzt jede isolierte Primärkomponente

b Man betrachte z. B. das folgende, von v. d. Waerden angegebene Bei-
spiel: Es sei 9t der Ring aller derjenigen rationalen Funktionen in x und y mit
rationalen Zahlkoeffizienten, bei denen bei gekürzter Darstellung der Nenner ein
von 0 verschiedenes, von den Variabein freies Glied enthält und außerdem durch
x— 1 unteilbar ist. Dann gilt in 91 der Teilerkettensatz und es sind die Ketten o, px -
(x—1), p2=n; o, px = (x, y), p2 = (x), p3 = n zwei Primidealvielfachenketten,
die gleiche Anfangs- und Endglieder haben, durch Einschiebung von Zwischen-
gliedern nicht mehr verlängert werden können, aber gleichwohl verschiedene
Gliederzahl besitzen. Es verliert also mindestens Satz 2 sicher seine Allgemein-
gültigkeit, wenn man die Forderung, daß das Anfangsglied von o verschieden
sein muß, aufgibt.
2) Zur Definition der primären Ringe vgl. § 1. Zur Verallgemeinerung des
Satzes auf bei. Ringe vgl. § 2 Satz 3.
3) Den Hinweis auf die Möglichkeit dieses Beweises verdanke ich V. D. WAERDEN.
Über das Theorem selbst vgl. v. d. W. S. 205, sowie E. LASKER: Zur Theorie der
Moduln und Ideale. Math. Annah 60 (1905) S. 95 und F. S. MacauläY: Modular
Systems. Cambridge Tracts 19 (1916) S. 61.
4) Zur Definition der Dimension eines Primideals bzw. Primärideals vgl.
v. d. W. § 3. 5 bzw. v. d. W. § 5. 1.