DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0007
Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 7
d. h. ist keine Primärkomponente überflüssig, so ist die Gesamtschar
8 der zu den einzelnen Primäridealen gehörigen Primideale durch n
allein eindeutig bestimmt. Die Primideale der Schar $ werden als „die
zu n gehörigen Primideale“ bezeichnet.
Hilfssatz c): Das Ideal b ist dann und nur dann zu a prim, wenn
kein zu b gehöriges Primideal durch ein zu n gehöriges teilbar ist.
Hilfssatz d)1): Es sei eine Teilschar von der Gesamtschar >S
der zu u gehörigen Primideale, die gleichzeitig mit p auch jedes in £
vorkommende Vielfache von p enthält. Ist dann u = qx^q2^- ■ • •
irgendeine Darstellung von a durch Primärkomponenten und sind etwa
qx, Ü2> ■ • • Qm (m = n) gerade diejenigen unter den qi; deren zugehörige
Primideale der Schar S-l angehören, so ist qx^q2^ • • Qm gleich einem
festen, nur von a und der Schar /Sx abhängigen Ideal aSi. Das Ideal
qä dessen zugehörige Primideale gerade durch die Individuen der
Schar 8X dargestellt werden, heißt „isoliertes Komponentenideal
von a“. Insbesondere entspricht jedem Primideal p aus der Gesamtschar
8, zu dem es in 8 kein echtes Vielfaches gibt, eine (zu p gehörige) „iso-
lierte“ Primärkomponente von u.
Hilfssatz e)2): Bedeutet q ein Primärideal, dessen zugehöriges
Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler besitzt", so bricht in
9I/q nicht nur jede echte Teilerkette, sondern auch jede echte Vielfachen-
kette im Endlichen ab.
§2.
Sätze über Produkte und Potenzen in primären Ringen.
Satz 1. In einem primären Ring 9i folgt aus der Gültigkeit
der Gleichungen in • a = in • b; u : b = a stets m = n.
Es sei (mx, m2, .... mg) eine (nach dem Teilerkettensatz vor-
handene) endliche Basis von in, ß sei ein zu n primes Element aus b.
Dann muß zunächst ß zum Nullideal n prim sein, denn andernfalls
hätten wir (für großes q) ß- = 0 = 0 (n) und daraus folgte a : (ße) -
o < n; ci : (ß) < n entgegen der Wahl von ß. Aus der Beziehung (ß) • m V
u • in ergibt sich ein Gleichungssystem
s
2 («fx — ß ' Öiy) ’ = 0 (^ = 1, 2 . . . S) (1)
X 1
bei dem die a- Elemente aus n sind, während d. — das
_ ’x ’ ■ w (o (G x)
T) Hilfssatz d) wird nur für die ohne Beweis angegebenen Sätze 3 und 4
von § 2 benötigt!
2) Der Beweis kann z. B. aus Krul£: Theorie und Anwendung der ver-
allgemeinerten Abelschen Gruppen (diese Sitz.-Ber. 1926, 1. Abh.) § 4 heraus-
präpariert werden.
d. h. ist keine Primärkomponente überflüssig, so ist die Gesamtschar
8 der zu den einzelnen Primäridealen gehörigen Primideale durch n
allein eindeutig bestimmt. Die Primideale der Schar $ werden als „die
zu n gehörigen Primideale“ bezeichnet.
Hilfssatz c): Das Ideal b ist dann und nur dann zu a prim, wenn
kein zu b gehöriges Primideal durch ein zu n gehöriges teilbar ist.
Hilfssatz d)1): Es sei eine Teilschar von der Gesamtschar >S
der zu u gehörigen Primideale, die gleichzeitig mit p auch jedes in £
vorkommende Vielfache von p enthält. Ist dann u = qx^q2^- ■ • •
irgendeine Darstellung von a durch Primärkomponenten und sind etwa
qx, Ü2> ■ • • Qm (m = n) gerade diejenigen unter den qi; deren zugehörige
Primideale der Schar S-l angehören, so ist qx^q2^ • • Qm gleich einem
festen, nur von a und der Schar /Sx abhängigen Ideal aSi. Das Ideal
qä dessen zugehörige Primideale gerade durch die Individuen der
Schar 8X dargestellt werden, heißt „isoliertes Komponentenideal
von a“. Insbesondere entspricht jedem Primideal p aus der Gesamtschar
8, zu dem es in 8 kein echtes Vielfaches gibt, eine (zu p gehörige) „iso-
lierte“ Primärkomponente von u.
Hilfssatz e)2): Bedeutet q ein Primärideal, dessen zugehöriges
Primideal keinen von o verschiedenen echten Teiler besitzt", so bricht in
9I/q nicht nur jede echte Teilerkette, sondern auch jede echte Vielfachen-
kette im Endlichen ab.
§2.
Sätze über Produkte und Potenzen in primären Ringen.
Satz 1. In einem primären Ring 9i folgt aus der Gültigkeit
der Gleichungen in • a = in • b; u : b = a stets m = n.
Es sei (mx, m2, .... mg) eine (nach dem Teilerkettensatz vor-
handene) endliche Basis von in, ß sei ein zu n primes Element aus b.
Dann muß zunächst ß zum Nullideal n prim sein, denn andernfalls
hätten wir (für großes q) ß- = 0 = 0 (n) und daraus folgte a : (ße) -
o < n; ci : (ß) < n entgegen der Wahl von ß. Aus der Beziehung (ß) • m V
u • in ergibt sich ein Gleichungssystem
s
2 («fx — ß ' Öiy) ’ = 0 (^ = 1, 2 . . . S) (1)
X 1
bei dem die a- Elemente aus n sind, während d. — das
_ ’x ’ ■ w (o (G x)
T) Hilfssatz d) wird nur für die ohne Beweis angegebenen Sätze 3 und 4
von § 2 benötigt!
2) Der Beweis kann z. B. aus Krul£: Theorie und Anwendung der ver-
allgemeinerten Abelschen Gruppen (diese Sitz.-Ber. 1926, 1. Abh.) § 4 heraus-
präpariert werden.