Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Primidealketteu in allgemeinen Ringbereichen. 9
Satz 4. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der
symbolischen Potenzen von p ist gleich demjenigen isolierten
Komponentenideal des Nullideals, zu dem alle und nur die
durch p teilbaren Primideale von n gehören.
Wir verzichten auf einen Beweis der Sätze 3 und 4, denn wir brauchen
diese Sätze im folgenden nicht, und der Grundgedanke der betr. Beweise
findet sich schon in den Beweisen von Satz 1 und Satz 2, auch kann
Satz 3 leicht durch Kombination von Satz 1 und Hilfssatz b) von § 1
abgeleitet werden.
§3.
Hauptidealsatz und Primidealkettensatz in Integritätsbereiohen.
Den Untersuchungen von § 3 liegt ein Integritätsbereich 91
zugrunde.
Ein Primideal p f n heißt „höchstes Primideal von 91“, wenn es in
91 außer n kein echtes Primidealvielfaches von p gibt, p ist dann und nur
dann höchstes Primideal von 91, wenn p • 91p höchstes Primideal von
91p ist.
p wird „höchstes Primideal von q“ genannt, wenn a durch
p teilbar ist, und wenn es kein echtes Primidealvielfaches von p gibt,
das gleichfalls Teiler von a wäre.
a besitzt stets mindestens ein, aber immer nur endlich viele höchste
Primideale; eine Potenz des Produktes sämtlicher höchster Primideale
von n ist durch a teilbar.1) Ist p höchstes Primideal von a, so stellt
U • 91p in 91p ein zu p • 91p gehöriges Primärideal dar.
Hauptidealsatz. Jedes höchste Primideal eines Ideales
p J n ist höchstes Primideal von 91.
Aus der Tatsache, daß gleichzeitig mit p in 91 auch p • 91p in 91p
Hauptideal ist, sowie aus den in § 1 über die Primideale in 91p gemachten
Bemerkungen ergibt sich, daß man beim Beweis 91 = 91p voraussetzen
darf, d. h. man hat nur zu zeigen: Ist jedes Ideal (J o) durch p teilbar,
und stellt ein gewisses Hauptideal p ein zu p gehöriges Primärideal dar,
so ist p höchstes Primideal von 91.
Es sei p' irgendein echtes Primidealvielfaches von p; dann bilden
wir, um die Gleichung p' = n' zu beweisen, die symbolischen Potenzen
von p' : p/(1) p'(2) 5^ p/(3) 1C Da nach Hilfssatz e) von
§ 1 in 91 / p jede Vielfachenkette im Endlichen abbricht, wird für ein
1) Vgl. K. § 2. Man sieht leicht, daß diejenigen Primideale aus. der Schar
ß der zu a gehörigen Primideale, zu denen es in S kein echtes Vielfaches gibt, gerade
die sämtlichen höchsten Primideale von a darstellen.