DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0012
12
Wolfgang Krull:
Induktionsvoraussetzung auf das Primideal p / pj^, auf die Kette
P / Pm < Pi / Pm < P»i—i / P™ ( h Pw / Pj»*) und auf das zu
p / P»n gehörige Primärideal (b + p^) / pm mit der l — 1 gliedrigen
Basis (u13 a2, . . . az_x) an, so ergibt sich die zu beweisende Ungleichung
m < l — 1, m + 1 < Z.
Zusatz zum Primidealkettensatz. Der Primidealketten-
satz gilt wörtlich auch für Ringe mit Nullteilern, sofern man
nur festsetzt, daß nur solche Primidealvielfachenketten
betrachtet werden sollen, bei denen das Endglied von den
endlich vielen höchsten Primidealen des Nullideals ver-
schieden ist.
In der Tat, es sei p, p13 , pm irgendeine mit p beginnende
Primidealkette. Dann gibt es ein höchstes Primideal p* des Nullideals,
das echtes Vielfaches von pTO ist. Gehen wir nun vom Ringe 91 zum
Ringe 91 / p* über, so erhalten wir in p / p*, px / p*, . . . -jp^/p*
eine Primidealkette aus 91 / p*, und es stellt p / p* höchstes Primideal
des Ideales (ü15 ä2, . . dar, falls wir unter n1, ü2, . . ., die durch
die Elemente a2, . . .,al bestimmten Restklassen aus 91/ p* ver-
stehen. Wir können nunmehr auf die Kette p / p*, px / p*, . . . .,
pTO / p* den Primidealkettensatz für Integritätsbereiche anwenden
und erhalten so unmittelbar die Richtigkeit des Zusatzes.
§
Eine Anwendung auf die Theorie der Polynomideale.
Der Ring iß aller Polynome in endlich viel Variabein x1} . . . xn
mit Koeffizienten aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper $
genügt dem Teilerkettensatz, fällt also unter die in § 1 — § 3 behandelten
Bereiche. In iß gelten, wie bereits in der Einleitung besprochen, viel
weitergehende Primidealvielfachenkettensätze als sie in § 3 für allgemeine
Ringe 91 bewiesen werden konnten. Wir kommen hier auf diese Dinge
nicht mehr zurück, dagegen müssen wir folgende für die weiteren Unter-
suchungen wesentliche Tatsache hervorheben:
Ein Primideal p aus iß ohne (von o verschiedenen) echten
Teiler besitzt eine eindeutig bestimmte Basis von der spe-
ziellen Form p = (ajj—U1, x2-—ct2, . . . . xn — an), wobei die
ai Elemente aus St bedeuten, und umgekehrt ist jedes Ideal
aus iß mit einer derartigen Basis Primideal ohne echten Teiler.1)
) Vgl. v. d. W. § 3. 10!
Wolfgang Krull:
Induktionsvoraussetzung auf das Primideal p / pj^, auf die Kette
P / Pm < Pi / Pm < P»i—i / P™ ( h Pw / Pj»*) und auf das zu
p / P»n gehörige Primärideal (b + p^) / pm mit der l — 1 gliedrigen
Basis (u13 a2, . . . az_x) an, so ergibt sich die zu beweisende Ungleichung
m < l — 1, m + 1 < Z.
Zusatz zum Primidealkettensatz. Der Primidealketten-
satz gilt wörtlich auch für Ringe mit Nullteilern, sofern man
nur festsetzt, daß nur solche Primidealvielfachenketten
betrachtet werden sollen, bei denen das Endglied von den
endlich vielen höchsten Primidealen des Nullideals ver-
schieden ist.
In der Tat, es sei p, p13 , pm irgendeine mit p beginnende
Primidealkette. Dann gibt es ein höchstes Primideal p* des Nullideals,
das echtes Vielfaches von pTO ist. Gehen wir nun vom Ringe 91 zum
Ringe 91 / p* über, so erhalten wir in p / p*, px / p*, . . . -jp^/p*
eine Primidealkette aus 91 / p*, und es stellt p / p* höchstes Primideal
des Ideales (ü15 ä2, . . dar, falls wir unter n1, ü2, . . ., die durch
die Elemente a2, . . .,al bestimmten Restklassen aus 91/ p* ver-
stehen. Wir können nunmehr auf die Kette p / p*, px / p*, . . . .,
pTO / p* den Primidealkettensatz für Integritätsbereiche anwenden
und erhalten so unmittelbar die Richtigkeit des Zusatzes.
§
Eine Anwendung auf die Theorie der Polynomideale.
Der Ring iß aller Polynome in endlich viel Variabein x1} . . . xn
mit Koeffizienten aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper $
genügt dem Teilerkettensatz, fällt also unter die in § 1 — § 3 behandelten
Bereiche. In iß gelten, wie bereits in der Einleitung besprochen, viel
weitergehende Primidealvielfachenkettensätze als sie in § 3 für allgemeine
Ringe 91 bewiesen werden konnten. Wir kommen hier auf diese Dinge
nicht mehr zurück, dagegen müssen wir folgende für die weiteren Unter-
suchungen wesentliche Tatsache hervorheben:
Ein Primideal p aus iß ohne (von o verschiedenen) echten
Teiler besitzt eine eindeutig bestimmte Basis von der spe-
ziellen Form p = (ajj—U1, x2-—ct2, . . . . xn — an), wobei die
ai Elemente aus St bedeuten, und umgekehrt ist jedes Ideal
aus iß mit einer derartigen Basis Primideal ohne echten Teiler.1)
) Vgl. v. d. W. § 3. 10!