Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Flächen mit geodätischen Dreiecksnetzen.

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§ 7.
Spezielle Lösungen,
wenn die Integrabilitätsbedingung nicht identisch erfüllt ist.

Wie wir bereits am Schlüsse des § 2 bemerkt haben, ließ sich der
Fall, daß die Integrabilitätsbedingung der Gleichungen (31) nicht iden-
tisch erfüllt ist, nicht allgemein durchführen. Man kann aber leicht
solche spezielle Annahmen für F oder 'Q machen, daß man zu neuen
Flächen mit nichttrivialen geodätischen Dreiecksnetzen kommt; im
folgenden sollen einige einfache Beispiele dazu betrachtet werden.
1. Es sei:

(121)

F= F(2u + v) + U.
Die Gleichungen (31) ergeben dann:
3 ’Z/' + ü7
Cu-U"^-3F"e
— 3 ip'— TJ'
tv-3F" C-U" e

= o,
= o.

Durch Integration der ersten Gleichung findet man unmittelbar:

3 ip' U'
(113) f-fte +U)« .
Aus der zweiten Gleichung (112) erhält man daun die Funktional¬
gleich uno':
& e 3 ™ —2 U'
(114) (F/-3V")« +U"e = o.
Durch Differentiation nach v kommt hieraus:

somit:
Fx" -3F1(F,/' + 3F"2) = o,
oder:
3(ßP'" + 3W"2) = -a2,
( Fx = cx sin (av + et),
(115)
1 e = c2 sin (a (2 u 4- v) + ß),

wo a, cv c2, a, ß willkürliche Konstante bedeuten; man kann aber,
ohne die Allgemeinheit zu beschränken, a = ß = o setzen.
Aus (114) erhält man nun:

also:
—■2ü'/
ü" e = — ac1c2 sin (2u),

— 2 U’
e

(116)
somit kommt:

(117) cos$ =--z --.
V c3 —cxc2cos (2 cm)
Das Bogenelement hat die Form:
^^2 —_1_
’ sin4 d (c3 - Cj c2 cos (2au))
(c22 sin2 a (2u + v) 7 „ , c9 sin«(2uFv) cos??'dudv ,
{-75—r du2 + 2 1Z, - -1
|c3 — cxc2 cos (2«w) y c3 — cxc2cos(2az<)