Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Setzen wir die Figur über C' oder eine der andern Spitzen fort, indem
wir die Strecken immer wieder zu -J- ergänzen, so wiederholt sich die
ganze Figur, und wir kehren zum Ausgangspunkt zurück. Es handelt
sich dabei um das System der fünf Vollkreise a y ß 2, wobei jeder
Kreis durch ein auf ihm liegendes Stück bezeichnet ist. Die Kugel-
oberfläche wird auf diese Weise zerlegt in die beiden Fünfecke mit
ihren Dreiecken und Stumpfecken, je zwei dieser Figuren sind sym-
metrisch.
Fügt man diesem System noch zwei weitere Vollkreise hinzu, näm-
lich die Diagonale EF und die auf ihr senkrecht stehende Höhe CC'
(y und 7?,), so erhält man eine andersartige Einteilung der Kugel. Es
bilden sich nämlich noch zwei dem ersten völlig gleichwertige Fünf-
ecke, jedes steht in Verbindung mit einem rechtwinkligen Dreieck und
diese sechs Figuren bedecken gerade die Halbkugel, mit der sym-
metrischen also die ganze Kugel.
Bevor diese Verhältnisse näher erläutert werden, sei die Richtigkeit
der Figur erwiesen. Verbindet man nämlich C' mit E, so muß diese
Linie auch durch C gehen und auf v (EF) und auf y senkrecht stehen,
also Höhe des Anfangsdreiecks sein, weil E und C' Pole dieser
Linien sind.
Verlängert man EF bis A und A', ihren Schnittpunkten mit y,
so entstehen die beiden schraffierten rechtwinkligen Dreiecke mit den
Ecken A und A', sie bilden mit den andern schraffierten Dreiecken
mit den Ecken C und C und Dreieck EMB einen Zyklus, der sich
zum Fünfeck schließt, wenn man die Figur nach links oben fortsetzt.
Dadurch erhält man nämlich die Dreiecke rechts unten wieder in sym-
metrischer Form. Der Beweis dieser Behauptungen folgt am einfachsten,
wenn man auf die einzelnen Dreiecke die Formeln anwendet.
Genau so entsteht auf der rechten Seite der Figur noch ein
Fünfeck. Die drei Fünfecke hängen durch die Seiten 2, /z, 7/ zusammen
und sind völlig gleichwertig. Wie die Seiten des einen im andern
Höhen oder Diagonalen sind, erkennt man am besten an einer Figur,
die die ganze Kugel zu überschauen gestattet.
Der Punkt B der Figur 1 sei als Pol genommen, dann ist y der
dazugehörige Hauptkreis, die Bezeichnungen entsprechen auch sonst
ganz der Fig. 1. Die rechte Abbildung stellt die untere innere Halb-
kugel dar, deren Dreiecke schon in der linken Halbkugel zu sehen
sind (punktiert). Es sind im ganzen sechs Dreiecke, die paarweis
zusammengehören (symmetrisch), sie bilden am Äquator einen ge-
schlossenen Ring und liegen in jedem Fünfeck der Ecke E bzw. B'
gegenüber.