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https://doi.org/10.11588/diglit.43583#0011
Neue Sätze über sphärische und hyperbolische Fünfecke.
11
ganz wie im euklidischen Raum, auf die Tangeutial-Ebene stereo-
graphisch projizieren. Die Strahlen, die den Äquator abbilden, machen
mit der Achse den Winkel Damit sie nicht parallel der Tangential-
ebene werden, der Abbildungskreis also unendlich wird, darf die Kugel
nicht zu groß sein. Ist der Radius des Bildkreises q, der Kugelradius
r, so ist:
thg = sh 2r ‘tg^ = sh 2 r,
also muß sein:
sh 2 r < 1.
Übrigens können wir auch Figur 1, indem wir annehmen, die
Kugel läge im hyperbolischen Raum, auf die hyperbolische Ebene in
derselben Weise umgekehrt konform abbilden, die größten Kreise gehen
in Abstandslinien über.1)
Behalten wir jedoch die Abbildung auf die Kugel bei, wir erhalten
dann Figur 9. Wir sehen an Figur 8 wie auch an Figur 9, daß außer
den fünf Spitzecken auch die rechtwinkligen Dreiecke entstehen, wenn
wir noch ein System von Parallelen zu Spitzecks- und Fünfecksseiten
hinzufügen. Zum Beispiel ist die Linie AB rechts parallel zu BG
(Figur 8), links zu AG. Sie schneidet aus dem Spitzeck mit dem
Winkel a das Dreieck c, a, b, 2, /z heraus. Das kongruente, nicht
das symmetrische Dreieck, entsteht auf der andern Seite im Spitzeck
mit dem Winkel ß durch die entsprechende Parallele nach der andern
Seite.
Im ganzen sind 10 solcher Parallelen vorhanden, wir können sie
als unendlich lange Diagonalen betrachten. In der sphärischen Figur
treten zu den Diagonalen noch die darauf senkrechten Höhen. Auch
hier fügen wir noch das System der 10 Linien hinzu, die auf den
Diagonalen senkrecht stehen. Wir zeichnen zum Beispiel zu AB und c
die gemeinsame Senkrechte CD.
Dadurch entsteht sofort ein Spitzeck, das mit dem unten links
(Winkel 2') kongruent ist, denn es hat mit ihm 2' und b' gemein.
Dann ist aber auch ED — c. Verlängern wir CD über D hinaus um
a' und errichten im Endpunkte ein Lot, desgleichen auf b' im End-
punkte, so erhalten wir ein Fünfeck, das dem Grundfünfeck kongruent
ist (schraffiert), und damit von neuem die ganze ursprüngliche Figur.
Man braucht also nur auf a den Punkt F nach D zu schieben
und das Ganze um D um 180° zu drehen. Wiederholen wir die Kon-
struktion in entsprechender Weise an der neu entstandenen Figur, so
l) Siebe Anm. S. 10.
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ganz wie im euklidischen Raum, auf die Tangeutial-Ebene stereo-
graphisch projizieren. Die Strahlen, die den Äquator abbilden, machen
mit der Achse den Winkel Damit sie nicht parallel der Tangential-
ebene werden, der Abbildungskreis also unendlich wird, darf die Kugel
nicht zu groß sein. Ist der Radius des Bildkreises q, der Kugelradius
r, so ist:
thg = sh 2r ‘tg^ = sh 2 r,
also muß sein:
sh 2 r < 1.
Übrigens können wir auch Figur 1, indem wir annehmen, die
Kugel läge im hyperbolischen Raum, auf die hyperbolische Ebene in
derselben Weise umgekehrt konform abbilden, die größten Kreise gehen
in Abstandslinien über.1)
Behalten wir jedoch die Abbildung auf die Kugel bei, wir erhalten
dann Figur 9. Wir sehen an Figur 8 wie auch an Figur 9, daß außer
den fünf Spitzecken auch die rechtwinkligen Dreiecke entstehen, wenn
wir noch ein System von Parallelen zu Spitzecks- und Fünfecksseiten
hinzufügen. Zum Beispiel ist die Linie AB rechts parallel zu BG
(Figur 8), links zu AG. Sie schneidet aus dem Spitzeck mit dem
Winkel a das Dreieck c, a, b, 2, /z heraus. Das kongruente, nicht
das symmetrische Dreieck, entsteht auf der andern Seite im Spitzeck
mit dem Winkel ß durch die entsprechende Parallele nach der andern
Seite.
Im ganzen sind 10 solcher Parallelen vorhanden, wir können sie
als unendlich lange Diagonalen betrachten. In der sphärischen Figur
treten zu den Diagonalen noch die darauf senkrechten Höhen. Auch
hier fügen wir noch das System der 10 Linien hinzu, die auf den
Diagonalen senkrecht stehen. Wir zeichnen zum Beispiel zu AB und c
die gemeinsame Senkrechte CD.
Dadurch entsteht sofort ein Spitzeck, das mit dem unten links
(Winkel 2') kongruent ist, denn es hat mit ihm 2' und b' gemein.
Dann ist aber auch ED — c. Verlängern wir CD über D hinaus um
a' und errichten im Endpunkte ein Lot, desgleichen auf b' im End-
punkte, so erhalten wir ein Fünfeck, das dem Grundfünfeck kongruent
ist (schraffiert), und damit von neuem die ganze ursprüngliche Figur.
Man braucht also nur auf a den Punkt F nach D zu schieben
und das Ganze um D um 180° zu drehen. Wiederholen wir die Kon-
struktion in entsprechender Weise an der neu entstandenen Figur, so
l) Siebe Anm. S. 10.