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https://doi.org/10.11588/diglit.43584#0005
Über Eulers Dreieckssatz in der absoluten Geometrie.
5
Setzt man die absolute Geometrie in der Euklidischen Geometrie
fort, dann existieren H und M immer; setzt man sie dagegen in der
einzig möglichen davon verschiedenen Weise, in der hyperbolischen
Geometrie, fort, dann gelten für das gleichschenkelige Dreieck be-
sondere Existentialbedingungen für H und M.
Die Untersuchung dieser Bedingungen wird besonders einfach,
wenn man das schon erwähnte Prinzip der speziellen Lage verwendet1):
Deutet man im Anschluß an F. Kleins projektive Auffassung der
Nichteuklidischen Geometrie die Axiome der hyperbolischen Geometrie
innerhalb eines reellen Einheitskreises (K) mit dem Mittelpunkt 0,
dann ist es für viele Zwecke bequem, hyperbolische Gebilde durch
automorphe Kollineationen von (K), hyperbolische Bewegungen, in
spezielle Lage zu 0 zu bringen und dann die folgenden Beziehungen
zwischen der Euklidischen und der hyperbolischen Auffassung des
Kreisinneren zu benützen:
a) Zwei Euklidisch senkrechte Gerade, von denen mindestens
eine 0 enthält, sind auch hyperbolisch senkrecht.
b) Euklidische Strecken, die symmetrisch zu einem Durchmesser
von (7f) liegen, sind auch hyperbolisch kongruent.
c) Ein Winkel mit dem Scheitel 0 hat Euklidisch und hyperbo-
lisch dieselbe Größe.
d) Zwischen der Euklidischen Länge a und der hyperbolischen
Länge u einer von 0 ausgehenden Strecke besteht die Be-
ziehung a — th a.
3. Ein hyperbolisches, gleichschenkeliges
Dreieck denken wir uns durch eine hyperbo-
lische Bewegung mit seiner Spitze auf 0 ge-
legt, Fig. 2. Dann ist es in dieser Lage nach
b) auch Euklidisch gleichschenkelig und seine
Euklidischen Höhen sind nach a) auch die
hyperbolischen Höhen. Der 2a an der*
Spitze hat dabei nach c) Euklidisch und
hyperbolisch dieselbe Größe.
Ist 2 a nicht stumpf, dann liegt der
Euklidische Höhen Schnittpunkt H innerhalb
des Dreiecks oder in 0 und ist daher auch
*) N. G., vor allem S. 74—76. Dort ist der Mittelpunkt des Randkreises
immer mit M bezeichnet. Das Prinzip der speziellen Lage ist auch außerhalb
der Lehre von den merkwürdigen Punkten des Dreiecks von Wert, z. B. bei der
Behandlung der hyperbolischen Trigonometrie (S. 112 ff.) oder der analytischen
Geometrie (S. 121 ff.).
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Setzt man die absolute Geometrie in der Euklidischen Geometrie
fort, dann existieren H und M immer; setzt man sie dagegen in der
einzig möglichen davon verschiedenen Weise, in der hyperbolischen
Geometrie, fort, dann gelten für das gleichschenkelige Dreieck be-
sondere Existentialbedingungen für H und M.
Die Untersuchung dieser Bedingungen wird besonders einfach,
wenn man das schon erwähnte Prinzip der speziellen Lage verwendet1):
Deutet man im Anschluß an F. Kleins projektive Auffassung der
Nichteuklidischen Geometrie die Axiome der hyperbolischen Geometrie
innerhalb eines reellen Einheitskreises (K) mit dem Mittelpunkt 0,
dann ist es für viele Zwecke bequem, hyperbolische Gebilde durch
automorphe Kollineationen von (K), hyperbolische Bewegungen, in
spezielle Lage zu 0 zu bringen und dann die folgenden Beziehungen
zwischen der Euklidischen und der hyperbolischen Auffassung des
Kreisinneren zu benützen:
a) Zwei Euklidisch senkrechte Gerade, von denen mindestens
eine 0 enthält, sind auch hyperbolisch senkrecht.
b) Euklidische Strecken, die symmetrisch zu einem Durchmesser
von (7f) liegen, sind auch hyperbolisch kongruent.
c) Ein Winkel mit dem Scheitel 0 hat Euklidisch und hyperbo-
lisch dieselbe Größe.
d) Zwischen der Euklidischen Länge a und der hyperbolischen
Länge u einer von 0 ausgehenden Strecke besteht die Be-
ziehung a — th a.
3. Ein hyperbolisches, gleichschenkeliges
Dreieck denken wir uns durch eine hyperbo-
lische Bewegung mit seiner Spitze auf 0 ge-
legt, Fig. 2. Dann ist es in dieser Lage nach
b) auch Euklidisch gleichschenkelig und seine
Euklidischen Höhen sind nach a) auch die
hyperbolischen Höhen. Der 2a an der*
Spitze hat dabei nach c) Euklidisch und
hyperbolisch dieselbe Größe.
Ist 2 a nicht stumpf, dann liegt der
Euklidische Höhen Schnittpunkt H innerhalb
des Dreiecks oder in 0 und ist daher auch
*) N. G., vor allem S. 74—76. Dort ist der Mittelpunkt des Randkreises
immer mit M bezeichnet. Das Prinzip der speziellen Lage ist auch außerhalb
der Lehre von den merkwürdigen Punkten des Dreiecks von Wert, z. B. bei der
Behandlung der hyperbolischen Trigonometrie (S. 112 ff.) oder der analytischen
Geometrie (S. 121 ff.).