Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Eulers Dreieckssatz in der- absoluten Geometrie.

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Haben in der hyperbolischen Geometrie die gleichen
Seiten eines gleichschenkeligen Dreiecks die Länge a
und schließen sie den Winkel 2a ein, dann existiert ein
Umkreis des Dreiecks dann und nur dann, wenn die Un-
gleichung (2) erfüllt ist.
Man erkennt hieraus ohne weiteres, daß es zu noch so kleinem a
immer Dreiecke ohne Umkreis gibt. Von den Bedingungen (1) und
(2) zieht keine die andere nach sich: Fig. 2 zeigt ein gleichschenkeliges
Dreieck mit Höhen Schnittpunkt aber ohne Umkreis, Fig. 3 ein solches
ohne Höhenschnittpunkt aber mit Umkreis, durch Verkleinerung von
OB in Fig. 2 kann man ein solches mit Höhenschnittpunkt und mit
Umkreis gewinnen, durch Vergrößerung von OB in Fig. 3 ein solches
ohne Höhen Schnittpunkt und ohne Umkreis.

III. Giiltigkeitsgrenzen des Eulerschen Satzes
in der hyperbolischen Geometrie.
5. Nach Nr. 1 gilt der Euler sehe Satz in der hyperbolischen Geo-
metrie nicht für alle Dreiecke, nach Nr. 2 für gleichschenkelige Dreiecke,
wenn nur H und M existieren. Es liegt nahe, in der hyperbolischen
Geometrie nach allen Dreiecken zu fragen, für welche, die Existenz
von H und 1\I vorausgesetzt, Eulers Satz gilt.
Wir bedienen uns wieder des Prin¬
zips der speziellen Lage. Das zu unter¬
suchende Dreieck sei abermals mit der
einen Ecke auf 0 gelegt, Fig. 4, die
Euklidischen Längen seiner Seiten OB
und OA seien a und b, y sei der
Winkel bei 0. Nach Einführung des
in der Figur angegebenen rechtwinke¬
ligen Koordinatensystems erhält man
die Euklidischen Koordinaten
HdLcosy; b • sin y), Br (J)t • cos y; Z^-siny), 0), N1(a1; 0).
Für den Schnittpunkt S der hyperbolischen Mittellinien findet man
nach einfacher Rechnung die Euklidischen Koordinatenwerte
xi = b^-ba ' + ~C°S


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