Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Richard Baldus:

Die Euklidischen Lote zu den Dreiecksseiten in A± und sind
nach a) die hyperbolischen Mittelsenkrechten, dies liefert für den Mittel-
punkt M des hyperbolischen Umkreises die Euklidischen Koordinaten
(4) x2=ar, . Cotgy
sm y
Da die Euklidischen Höhen gleichzeitig hyperbolische Höhen sind,
erhält man als Euklidische Koordinaten von Ii die Werte
(5) x3 = b ■ cos y, y =a - cotg v — b • C0S .
' sm y
6. Die Bedingung dafür, daß die drei Punkte S, AL, H in einer
hyperbolischen und folglich auch Euklidischen Geraden liegen, ist


Vi 1
X2 V2 1
^3 V3 1

= 0.

Durch Einsetzen der Werte aus den Gin. (3) — (5) und Ausrechnen der
Determinante findet man

11 . b
A = --— • —-(a, — b cos /) (a-—) (a-. b — abA.
biai ~ ba sm y cos y'
Da &1a1 — ba und sin y endlich und von Null verschieden sind, ist
daher
(6) (a1-&cosy)(a-^-)(a1&-a&1) = 0
die Euklidische Bedingung für die Existenz der hyperbolischen Euler-
schen Geraden.
7. Das Verschwinden des ersten Faktors in (6) bedeutet nach
Fig. 4, daß der hyperbolische Seitenmittelpunkt gleichzeitig Höhen-
fußpunkt, daher das Dreieck bei A gleichschenkelig ist. Das Ver-
schwinden des zweiten Faktors enthält wegen der Vertauschung von
mit und b mit a dieselbe Aussage für JE>. Das Nullsetzen des
dritten Faktors bedeutet hyperbolisch wegen d)
th • th'b — th a • th - = 0.
(-4

Hieraus berechnet man leicht a = b, d. h. das Dreieck ist bei 0 gleich-
schenkelig. Das ist der Beweis des Satzes:
Gilt in der hyperbolischen Geometrie in einem Dreieck
der EuLERSche Satz, dann ist das Dreieck gleichschenkelig.
Hiermit und mit dem Satze von Nr. 2 sind die Gültigkeitsgrenzen
des Euler sehen Satzes in der hyperbolischen Geometrie bestimmt.