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https://doi.org/10.11588/diglit.43584#0009
Über Eulers Dreieckssatz in der absoluten Geometrie.
9
IV. Zerlegung des Eulerschen Satzes in zwei Teilsätze.
8. Nach Nr. 6 liegen die Punkte H, S, M unter der Euklidischen
Bedingung
(7) a-Jj — ab1 = 0
in einer Geraden. Sind dabei A± und die hyperbolischen Seiten-
mitten, dann folgt daraus nach Nr. 7 die Gleich sch enkeligkeit des
Dreiecks. Unabhängig davon, ob A1 hyperbolische Seitenmitte ist, sagt
Gl. (7) Euklidisch aus, daß A1B1// AB ist, oder, was Euklidisch auf
dasselbe hinauskommt, daß A1B1 auf der Dreieckshöhe aus 0 senk-
recht steht. Diese letzte Aussage gilt aber nach a) gleichzeitig hyper-
bolisch. Daher enthält Nr. 6 zufolge Fig. 4 den Beweis des folgenden
Satzes:
Fällt man in der absoluten Geometrie von einem Punkt
A, der Seite BC eines Dreiecks das Lot auf die Höhe
dann trifft dieses die Seite AC in einem Punkte Br S sei
der Schnittpunkt der Transversalen AAX und BBr, ferner
existiere der Schnittpunkt M der in Ar und B± zu den
Dreiecksseiten errichteten Lote und der Höhenschnitt-
punkt II des Dreiecks. Dann liegen die Punkte S, M, II
immer in einer Geraden.
9. In der Euklidischen Geometrie erhält man nun aus dem soeben
abgeleiteten Satze der absoluten Geometrie sofort den Eulerschen Satz,
indem man At im Seitenmittelpunkte wählt und den Satz hinzunimmt,
daß die Senkrechte aus dem Seitenmittelpunkt A1 auf die
Höhe bc die Seite AC im Seitenmittelpunkte Bx trifft.
In der hyperbolischen Geometrie dagegen gilt dieser letzte Satz
nur dann, wenn das Dreieck bei C gleichschenkelig ist: die Verbindungs-
linie zweier Seitenmitten steht in der absoluten Geometrie bekanntlich
zur Mittelsenkrechten der dritten Seite senkrecht und kann daher in
der hyperbolischen Geometrie nur dann gleichzeitig auf der Höhe zu
dieser Seite senkrecht stehen, wenn Mittelsenkrechte und Seitenhöhe
zusammenfallen, denn sonst gäbe es zu zwei Geraden zwei gemeinsame
Lote.
Damit ist der Eulersche Satz der Euklidischen Geometrie in zwei
Teilsätze zerspalten, deren erster der absoluten Geometrie angehört,
während der zweite bei nicht-gleichschenkeligen Dreiecken nur in der
Euklidischen Geometrie gilt.
Will man sich nicht, wie man es im axiomatischen Aufbau der
Geometrie zunächst tut, auf eigentliche Punkte beschränken, dann fallen
in den Sätzen der Nrn. 2 und 8 die Existentialvoraussetzungen weg, die
9
IV. Zerlegung des Eulerschen Satzes in zwei Teilsätze.
8. Nach Nr. 6 liegen die Punkte H, S, M unter der Euklidischen
Bedingung
(7) a-Jj — ab1 = 0
in einer Geraden. Sind dabei A± und die hyperbolischen Seiten-
mitten, dann folgt daraus nach Nr. 7 die Gleich sch enkeligkeit des
Dreiecks. Unabhängig davon, ob A1 hyperbolische Seitenmitte ist, sagt
Gl. (7) Euklidisch aus, daß A1B1// AB ist, oder, was Euklidisch auf
dasselbe hinauskommt, daß A1B1 auf der Dreieckshöhe aus 0 senk-
recht steht. Diese letzte Aussage gilt aber nach a) gleichzeitig hyper-
bolisch. Daher enthält Nr. 6 zufolge Fig. 4 den Beweis des folgenden
Satzes:
Fällt man in der absoluten Geometrie von einem Punkt
A, der Seite BC eines Dreiecks das Lot auf die Höhe
dann trifft dieses die Seite AC in einem Punkte Br S sei
der Schnittpunkt der Transversalen AAX und BBr, ferner
existiere der Schnittpunkt M der in Ar und B± zu den
Dreiecksseiten errichteten Lote und der Höhenschnitt-
punkt II des Dreiecks. Dann liegen die Punkte S, M, II
immer in einer Geraden.
9. In der Euklidischen Geometrie erhält man nun aus dem soeben
abgeleiteten Satze der absoluten Geometrie sofort den Eulerschen Satz,
indem man At im Seitenmittelpunkte wählt und den Satz hinzunimmt,
daß die Senkrechte aus dem Seitenmittelpunkt A1 auf die
Höhe bc die Seite AC im Seitenmittelpunkte Bx trifft.
In der hyperbolischen Geometrie dagegen gilt dieser letzte Satz
nur dann, wenn das Dreieck bei C gleichschenkelig ist: die Verbindungs-
linie zweier Seitenmitten steht in der absoluten Geometrie bekanntlich
zur Mittelsenkrechten der dritten Seite senkrecht und kann daher in
der hyperbolischen Geometrie nur dann gleichzeitig auf der Höhe zu
dieser Seite senkrecht stehen, wenn Mittelsenkrechte und Seitenhöhe
zusammenfallen, denn sonst gäbe es zu zwei Geraden zwei gemeinsame
Lote.
Damit ist der Eulersche Satz der Euklidischen Geometrie in zwei
Teilsätze zerspalten, deren erster der absoluten Geometrie angehört,
während der zweite bei nicht-gleichschenkeligen Dreiecken nur in der
Euklidischen Geometrie gilt.
Will man sich nicht, wie man es im axiomatischen Aufbau der
Geometrie zunächst tut, auf eigentliche Punkte beschränken, dann fallen
in den Sätzen der Nrn. 2 und 8 die Existentialvoraussetzungen weg, die