DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0007
Reduktion der Konstruktion von Körpern usw.
7
Betrachten wir jetzt die allgemeine zweistufige Gruppe: @ = {5^,
Tv; {Ae} @ } x} mit Kommutatorgruppe 31 - {{ Ag } @ {C^} $1
von Primzahlpotenzordnung, wo C%^ der Kommutator von mit T%
und Orcl (AQ) = lfß | lf, so gilt jetzt < { Ck1}%= G für jedes
Element A < 51, da in der Faktorgruppe 51/(5 jede Potenz das
Einheitselement ergibt. Für den Spezialfall, daß (b von PrimzMpotenz-
ordnung ist, bedeutet das, daß die C%^ allein die Kommutatorgruppe symbo-
lisch erzeugen1'), also daß mit den ß/( die AQ fehlen, da hier N (S) = 1.
Umgekehrt ist aber auch jedes Element aus (5 eine JF(S) Potenz,
N (Sh tn m 1,
da (7x2 = also (7x2 = (7x2, wo m = n± die zu l teilfhemde
Ordnung von S = {Sv ... Sm} ist. Die Gruppe (5 ist demnach die
Untergruppe der N (S)fih Potenzen in der Kommutatorgruppe,
erweist sich also als eine charakteristische Untergruppe von
®.2) Man kann sie auch als die Untergruppe der Kommutatorgruppe
charakterisieren, die aus allen gegenüber den Su invarianten Elementen
besteht. Daß nämlich diese Elemente auch alle in 6 liegen, folgt aus
der Darstellung:
1 = X(S,-1) p + N(S)-J (lh
Ist nämlich A ‘u = E (ja = 1, . . . m), so folgt:
= AN{S} ’ J + 2 t"1) = aN(S) ' J
ist TF^S)1® Potenz in 51.
Weiter erkennt man, daß man die Elemente . . . Ar, die mit
(5 zusammen 51 symbolisch erzeugen, aus ihren Nebengruppen: Ax (5,
. • • Ar (5 zu (5 so auswählen kann, daß A^ = E wird; denn ist
A^^ = CQ < 6, so ist wegen = C™ dann (Ao C™ =
A® Cq1 >a = E, wenn m' = — i (Z^) gewählt wird, wo lCJ = Ord (Co).
Man erreicht damit, daß alle IIA*Q eine in N (8) auf¬
gehende Ordnung haben, und zwar als einzige Elemente in 51, da
(<7 • 77 A^ N = C N = C m für C < W Die II Aj^Q bilden dem-
nach ebenfalls eine durch 0 völlig bestimmte Untergruppe 5l0 der
b Vgl. Pu. Furtwängler: Beweis des Hauptidealsatzes, Hambg. Sem.-Abh. 7
(1929), S. 17-18.
-) Man beachte, daß zur Charakterisierung von (5 die Auswahl der Reprä-
sentanten 21 keine Rolle spielt, da die symbolischen Exponenten immer
nur von den Nebengruppen nach 21 abhängen, und daß außerdem IF(S') und ff
von der Wahl der Basis in ®/2I unabhängig sind.
7
Betrachten wir jetzt die allgemeine zweistufige Gruppe: @ = {5^,
Tv; {Ae} @ } x} mit Kommutatorgruppe 31 - {{ Ag } @ {C^} $1
von Primzahlpotenzordnung, wo C%^ der Kommutator von mit T%
und Orcl (AQ) = lfß | lf, so gilt jetzt < { Ck1}%= G für jedes
Element A < 51, da in der Faktorgruppe 51/(5 jede Potenz das
Einheitselement ergibt. Für den Spezialfall, daß (b von PrimzMpotenz-
ordnung ist, bedeutet das, daß die C%^ allein die Kommutatorgruppe symbo-
lisch erzeugen1'), also daß mit den ß/( die AQ fehlen, da hier N (S) = 1.
Umgekehrt ist aber auch jedes Element aus (5 eine JF(S) Potenz,
N (Sh tn m 1,
da (7x2 = also (7x2 = (7x2, wo m = n± die zu l teilfhemde
Ordnung von S = {Sv ... Sm} ist. Die Gruppe (5 ist demnach die
Untergruppe der N (S)fih Potenzen in der Kommutatorgruppe,
erweist sich also als eine charakteristische Untergruppe von
®.2) Man kann sie auch als die Untergruppe der Kommutatorgruppe
charakterisieren, die aus allen gegenüber den Su invarianten Elementen
besteht. Daß nämlich diese Elemente auch alle in 6 liegen, folgt aus
der Darstellung:
1 = X(S,-1) p + N(S)-J (lh
Ist nämlich A ‘u = E (ja = 1, . . . m), so folgt:
= AN{S} ’ J + 2 t"1) = aN(S) ' J
ist TF^S)1® Potenz in 51.
Weiter erkennt man, daß man die Elemente . . . Ar, die mit
(5 zusammen 51 symbolisch erzeugen, aus ihren Nebengruppen: Ax (5,
. • • Ar (5 zu (5 so auswählen kann, daß A^ = E wird; denn ist
A^^ = CQ < 6, so ist wegen = C™ dann (Ao C™ =
A® Cq1 >a = E, wenn m' = — i (Z^) gewählt wird, wo lCJ = Ord (Co).
Man erreicht damit, daß alle IIA*Q eine in N (8) auf¬
gehende Ordnung haben, und zwar als einzige Elemente in 51, da
(<7 • 77 A^ N = C N = C m für C < W Die II Aj^Q bilden dem-
nach ebenfalls eine durch 0 völlig bestimmte Untergruppe 5l0 der
b Vgl. Pu. Furtwängler: Beweis des Hauptidealsatzes, Hambg. Sem.-Abh. 7
(1929), S. 17-18.
-) Man beachte, daß zur Charakterisierung von (5 die Auswahl der Reprä-
sentanten 21 keine Rolle spielt, da die symbolischen Exponenten immer
nur von den Nebengruppen nach 21 abhängen, und daß außerdem IF(S') und ff
von der Wahl der Basis in ®/2I unabhängig sind.