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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0003
Reduktion der Konstruktion von Körpern
mit zweistufiger (metabelscher) Gruppe.
Um der Frage nach der Existenz algebraischer Zahlkörper mit
vorgegebener zweistufiger Gruppe näherzukommen, habe ich in meiner
Abhandlung: „Über die Bildung algebraischer Zahlkörper mit auflös-
barer Galoisscher Gruppe“ x) einen besonderen zweistufigen Typus, die
Dispositionsgruppe, vorweg behandelt, für die sich die Körperkonstruk-
tion noch verhältnismäßig leicht vollziehen ließ. Zugleich knüpfte ich
an den Schluß des Kap. II dieser Abhandlung die Bemerkung an, daß
man die Konstruktionsaufgabe durch eine gruppentheoretische Über-
legung so reduzieren kann, daß man außer für die Dispositionsgruppe
nur noch für gewisse Maximaltypen zweistufiger Gruppen von Prim-
zahlpotenzordnung die Konstruktion von Körpern zu kennen braucht,
um für alle zweistufigen Gruppen die Körperkonstruktion zu sichern.
Diese gruppentheoretische Aufgabe soll hier behandelt werden. Ich
setze alle Bezeichnungen und Resultate der genannten Abhandlung, die
ich im folgenden mit I abkürze, als bekannt voraus.
I. Zerlegung der allgemeinen zweistufigen Gruppe in ein relatives Produkt
von zwei charakteristischen Faktoren.
Zunächst erinnere ich an die .Hauptfälle, die eine Körperkonstruk-
tionsaufgabe reduzieren konnten: War eine Gruppe @ (über einer ihrer
Faktorgruppen relatives Produkt mehrerer Gruppen so genügte
es, um die Existenz eines Körpers K mit der Gruppe @ zu sichern,
zuerst einen Körper K. mit der Gruppe ® zu finden und dann zu den
Gruppentypen (S)o Körper Kf) > 7k zu bestimmen, so daß jedes mit
dem Produkt der übrigen Kß (u 4 @) nur den Körper K gemeinsam
hat; 'Typen’ dabei im Sinne von I, S. 340 verstanden. Außer der
Zerlegung in ein relatives Produkt kam noch die Darstellung der ge-
gebenen Gruppe als Faktorgruppe einer andern für eine Reduktion in
Frage. Nach diesen Prinzipien konnte mau jede zweistufige Gruppe
@ O 51 > E (S/5I, 51 Abelsch) über S/51 in ein relatives Produkt von
0 Math. Zeitschr. 30 (1929), S. 332-356.
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mit zweistufiger (metabelscher) Gruppe.
Um der Frage nach der Existenz algebraischer Zahlkörper mit
vorgegebener zweistufiger Gruppe näherzukommen, habe ich in meiner
Abhandlung: „Über die Bildung algebraischer Zahlkörper mit auflös-
barer Galoisscher Gruppe“ x) einen besonderen zweistufigen Typus, die
Dispositionsgruppe, vorweg behandelt, für die sich die Körperkonstruk-
tion noch verhältnismäßig leicht vollziehen ließ. Zugleich knüpfte ich
an den Schluß des Kap. II dieser Abhandlung die Bemerkung an, daß
man die Konstruktionsaufgabe durch eine gruppentheoretische Über-
legung so reduzieren kann, daß man außer für die Dispositionsgruppe
nur noch für gewisse Maximaltypen zweistufiger Gruppen von Prim-
zahlpotenzordnung die Konstruktion von Körpern zu kennen braucht,
um für alle zweistufigen Gruppen die Körperkonstruktion zu sichern.
Diese gruppentheoretische Aufgabe soll hier behandelt werden. Ich
setze alle Bezeichnungen und Resultate der genannten Abhandlung, die
ich im folgenden mit I abkürze, als bekannt voraus.
I. Zerlegung der allgemeinen zweistufigen Gruppe in ein relatives Produkt
von zwei charakteristischen Faktoren.
Zunächst erinnere ich an die .Hauptfälle, die eine Körperkonstruk-
tionsaufgabe reduzieren konnten: War eine Gruppe @ (über einer ihrer
Faktorgruppen relatives Produkt mehrerer Gruppen so genügte
es, um die Existenz eines Körpers K mit der Gruppe @ zu sichern,
zuerst einen Körper K. mit der Gruppe ® zu finden und dann zu den
Gruppentypen (S)o Körper Kf) > 7k zu bestimmen, so daß jedes mit
dem Produkt der übrigen Kß (u 4 @) nur den Körper K gemeinsam
hat; 'Typen’ dabei im Sinne von I, S. 340 verstanden. Außer der
Zerlegung in ein relatives Produkt kam noch die Darstellung der ge-
gebenen Gruppe als Faktorgruppe einer andern für eine Reduktion in
Frage. Nach diesen Prinzipien konnte mau jede zweistufige Gruppe
@ O 51 > E (S/5I, 51 Abelsch) über S/51 in ein relatives Produkt von
0 Math. Zeitschr. 30 (1929), S. 332-356.
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