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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0004
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Arnold Scholz:
solchen zweistufigen Gruppen zerspalten, daß für jeden Faktor die 21
entsprechende Gruppe von Primzahlpotenzordnung war.
Wir nehmen hier die Zwischengruppe 31 stets als die Kommutator-
gruppe von @ und können nach dem Gesagten gleich davon ausgehen,
daß sie von Primzahlpotenzordnung la sei. Dann kann man (nach I,
S. 347) @ nach 21 normieren, d. h., wenn
@/2I= 1^21,... T^, ... T„%\; Ord (S„Sl) = ifr (!„+/),
Ord (T„2l)=Z^, die Basisrepräsentanten S„, Tv so auswählen, daß
Ord(S^=Ord(S„?l)
und die S/( untereinander und mit den Tv vertauschbar sind, während
für die Tv im allgemeinen nur Ord (Tv 21) | Ord (7j,) gilt und diese
untereinander Kommutatoren besitzen können: T; T% = Ty CK^.
Die (7^2 erzeugen symbolisch eine in G) invariante Untergruppe:
G = j C%^} % der Kommutatorgruppe, deren jedes Element mit jedem
Sfl vertauschbar ist, weil die Tv selbst mit den vertauschbar sind.
Man braucht darum in G nur mit symbolischen Exponenten in den
T< X; T = II t/v zu rechnen. G ist selbst die Kommutatorgruppe
der Primär-Untergruppe: SG — { Tv ... Tn-, { } % } von @.
(Unter "Primärgruppe’ sei in dieser Abhandlung eine (zweistufige)
Gruppe von Primzahlpotenzordnung verstanden.)
Um nun die Konstitution der Kommutatorgruppe von @ über
{ } £ hinaus kennenzulernen, betrachten wir zuerst einmal die
Gruppe: @/G oder, abstrakt gesagt, eine Gruppe G), bei der unter Bei-
behaltung ihrer gewöhnlichen Normiertheit auch noch die Tv unterein-
ander vertauschbar sind, also eine in der Gestalt: G) > 21 > E auf
Dispositionsgruppen zurückführbare Gruppe (nach I, S. 345 u.), bei
der das Zwischenglied 21 die Kommutatorgruppe ist. (Bei der Dis-
positionsgruppe selbst ist das Zwischenglied eine umfangreichere Gruppe.)
21 hat dann hier die Gestalt: 21 = { A1; .. . Ar} = EIIAQ - \
Berücksichtigt man, daß in G) — E ... Smm Tj1 ... Tn'1 21 hier
die S„ und Tv untereinander vertauschbar sind, so ergibt sich nach
I, S. 342 u., daß sich in G) ein Kommutator aus Faktoren: A •"
und A^v 1 (A < 21) zusammensetzt. Es muß sich dann auch jedes
Element der Kommutatorgruppe 21 in der Form: Az 1 A" ...
A* 1 n 1 darstellen lassen (AI, A", ... A*< 21), d. li. als Potenz in
21, wo $ = (ßi—l, ... Sm— 1, jTj—1, . • • Tn—1).
Nimmt man zuerst einmal an, daß 21 durch ein Element A von
der Ordnung 23 symbolisch erzeugt werde (oder gleich (s. u.) G) eine
Arnold Scholz:
solchen zweistufigen Gruppen zerspalten, daß für jeden Faktor die 21
entsprechende Gruppe von Primzahlpotenzordnung war.
Wir nehmen hier die Zwischengruppe 31 stets als die Kommutator-
gruppe von @ und können nach dem Gesagten gleich davon ausgehen,
daß sie von Primzahlpotenzordnung la sei. Dann kann man (nach I,
S. 347) @ nach 21 normieren, d. h., wenn
@/2I= 1^21,... T^, ... T„%\; Ord (S„Sl) = ifr (!„+/),
Ord (T„2l)=Z^, die Basisrepräsentanten S„, Tv so auswählen, daß
Ord(S^=Ord(S„?l)
und die S/( untereinander und mit den Tv vertauschbar sind, während
für die Tv im allgemeinen nur Ord (Tv 21) | Ord (7j,) gilt und diese
untereinander Kommutatoren besitzen können: T; T% = Ty CK^.
Die (7^2 erzeugen symbolisch eine in G) invariante Untergruppe:
G = j C%^} % der Kommutatorgruppe, deren jedes Element mit jedem
Sfl vertauschbar ist, weil die Tv selbst mit den vertauschbar sind.
Man braucht darum in G nur mit symbolischen Exponenten in den
T< X; T = II t/v zu rechnen. G ist selbst die Kommutatorgruppe
der Primär-Untergruppe: SG — { Tv ... Tn-, { } % } von @.
(Unter "Primärgruppe’ sei in dieser Abhandlung eine (zweistufige)
Gruppe von Primzahlpotenzordnung verstanden.)
Um nun die Konstitution der Kommutatorgruppe von @ über
{ } £ hinaus kennenzulernen, betrachten wir zuerst einmal die
Gruppe: @/G oder, abstrakt gesagt, eine Gruppe G), bei der unter Bei-
behaltung ihrer gewöhnlichen Normiertheit auch noch die Tv unterein-
ander vertauschbar sind, also eine in der Gestalt: G) > 21 > E auf
Dispositionsgruppen zurückführbare Gruppe (nach I, S. 345 u.), bei
der das Zwischenglied 21 die Kommutatorgruppe ist. (Bei der Dis-
positionsgruppe selbst ist das Zwischenglied eine umfangreichere Gruppe.)
21 hat dann hier die Gestalt: 21 = { A1; .. . Ar} = EIIAQ - \
Berücksichtigt man, daß in G) — E ... Smm Tj1 ... Tn'1 21 hier
die S„ und Tv untereinander vertauschbar sind, so ergibt sich nach
I, S. 342 u., daß sich in G) ein Kommutator aus Faktoren: A •"
und A^v 1 (A < 21) zusammensetzt. Es muß sich dann auch jedes
Element der Kommutatorgruppe 21 in der Form: Az 1 A" ...
A* 1 n 1 darstellen lassen (AI, A", ... A*< 21), d. li. als Potenz in
21, wo $ = (ßi—l, ... Sm— 1, jTj—1, . • • Tn—1).
Nimmt man zuerst einmal an, daß 21 durch ein Element A von
der Ordnung 23 symbolisch erzeugt werde (oder gleich (s. u.) G) eine