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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0011
Reduktion der Konstruktion von Körpern usw.
11
da 51 als Kommutatorgruppe von (S aus den A/IV symbolisch erzeugt
wird (nach S. 7 o.), so auch 51' aus den A'lV.
Es läßt sich also jede Primärgruppe als Faktorgruppe einer solchen
darstellen, bei der feste Repräsentanten einer festen Basis des Kommu-
tatorfaktors von der Kommutatorgruppe "unabhängig’ (im obigen Sinne)
sind.
Wir nehmen von jetzt ab also Ord (5,,) — Orcl (5„ 51) — Z an.
‘ _IS
Die Kommutatorgruppe wird aus den Kommutatoren Auv = Sv Sv ,u
symbolisch erzeugt. Wir betrachten zuerst den Fall m=2:
= { 5i, 52; { KL j @ j; A = 52—1 S,1; Ord (KL) = Z7c; Ord (5i) = iS
Ord (52) = l1l2‘
Die symbolische Ordnung von A ist jedenfalls ein Teiler von
551^ = (Z7c, Si —1, 52 —1), wegen der Unabhängigkeit der 5i, 52
von {A} @ sogar ein Teiler von
51 W =
7 7^1
k Si-1
’ 5 — 1
Jii
da wegen 5i
52ä = 52 £W1
S2 -1
= 5i A ~ 5-1
Gibt es für jede Kombination: eine Gruppe S, in der der
Kommutator A genau zum Modul 5c; gehört, so ist offenbar jeder
andere hier zu behandelnde Gruppentyp als Faktorgruppe unter einer
solchen Gruppe @ vertreten. Daß nun tatsächlich zu jeder Ordnungs-
kombination: (7?1, iS, Z7b) eine solche Gruppe mit maximaler Ausdeh-
nung existiert, die dann 'Zweiggruppe vom Typ: (Z\ Z^2; Z7b) heiße,
kann man so zeigen:
Man bilde eine Dispositionsgruppe in normierter Gestalt:
{5i, S2; {A/}@,} vom Typ: (Z7il, lJl2; Z^) und betrachte die Gesamtheit
der Elemente: 5i° (52 A' A' wobei allg. XLl = St(— 1 (oder
5/t—1) bedeute.1) Sie bilden eine Gruppe; denn multipliziert man
ß Diese Identifizierung: 8^ — 8^ kann man bei den symbolischen Expo-
nenten wegen der nachherigen Zuordnung der 8^ und 8'^ hier wie später im
allg. Fall von m Erzeugenden 8^ sofort machen.
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da 51 als Kommutatorgruppe von (S aus den A/IV symbolisch erzeugt
wird (nach S. 7 o.), so auch 51' aus den A'lV.
Es läßt sich also jede Primärgruppe als Faktorgruppe einer solchen
darstellen, bei der feste Repräsentanten einer festen Basis des Kommu-
tatorfaktors von der Kommutatorgruppe "unabhängig’ (im obigen Sinne)
sind.
Wir nehmen von jetzt ab also Ord (5,,) — Orcl (5„ 51) — Z an.
‘ _IS
Die Kommutatorgruppe wird aus den Kommutatoren Auv = Sv Sv ,u
symbolisch erzeugt. Wir betrachten zuerst den Fall m=2:
= { 5i, 52; { KL j @ j; A = 52—1 S,1; Ord (KL) = Z7c; Ord (5i) = iS
Ord (52) = l1l2‘
Die symbolische Ordnung von A ist jedenfalls ein Teiler von
551^ = (Z7c, Si —1, 52 —1), wegen der Unabhängigkeit der 5i, 52
von {A} @ sogar ein Teiler von
51 W =
7 7^1
k Si-1
’ 5 — 1
Jii
da wegen 5i
52ä = 52 £W1
S2 -1
= 5i A ~ 5-1
Gibt es für jede Kombination: eine Gruppe S, in der der
Kommutator A genau zum Modul 5c; gehört, so ist offenbar jeder
andere hier zu behandelnde Gruppentyp als Faktorgruppe unter einer
solchen Gruppe @ vertreten. Daß nun tatsächlich zu jeder Ordnungs-
kombination: (7?1, iS, Z7b) eine solche Gruppe mit maximaler Ausdeh-
nung existiert, die dann 'Zweiggruppe vom Typ: (Z\ Z^2; Z7b) heiße,
kann man so zeigen:
Man bilde eine Dispositionsgruppe in normierter Gestalt:
{5i, S2; {A/}@,} vom Typ: (Z7il, lJl2; Z^) und betrachte die Gesamtheit
der Elemente: 5i° (52 A' A' wobei allg. XLl = St(— 1 (oder
5/t—1) bedeute.1) Sie bilden eine Gruppe; denn multipliziert man
ß Diese Identifizierung: 8^ — 8^ kann man bei den symbolischen Expo-
nenten wegen der nachherigen Zuordnung der 8^ und 8'^ hier wie später im
allg. Fall von m Erzeugenden 8^ sofort machen.