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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0014
14
Arnold Scholz:
12
m (E) =
I, und es gilt die
= E
Ordnung: Ti =
A X^xv
^/iv
-\7-
wo A' < 21' und S' ein geordnetes Potenzprodukt der S^, S2 A'12 2,
S'3 A'13 Xs, ... Sm A'im Xm, also von der Gestalt: 77 (S'{ ist.
Dieses System ist wieder eine Gruppe denn einmal ist 21' gegen-
über den S' invariant, und außerdem hinterläßt eine Transformation:
(S„ A[, X")S’1 A A’a Ä'A E A''>X’=S’fl aA‘ A’äXl
nur einen Kommutator: A'^ ' " < 21'.
Die Gruppe @' ist nun tatsächlich eine Zweiggruppe vom Typ
(Z7l\ . . . l^m; Z&): Es ist, wenn man S'a = Su setzt, Ord (S„)
= Z^, da Ord (S^) = Z7^ und = E. Als Kommutator
Xj X
von S,, mit erhält man AL;?t — A) z Es ist tatsächlich
ä S' 1
A^ = A^ e, und die Kommutatoren A^u erzeugen symbolisch die
Gruppe 21'; außerdem ist @'/2l' eine Abelsche Gruppe vom vorge-
schriebenen Typ: (Z7\ . . . Z7i?”), 21' dann wirklich die Kommutator-
gruppe von und Ord ($u) = Ord (Slt 21') = Z7*U Es bleibt noch zu
zeigen, daß die Kommutatorgruppe 21' die in Aussicht gestellte maxi-
male Ausdehnung hat: Da jedes A'f(V — 1 A1V die symbolische
fz7'’, Sil —1, . . . Sm ™— 1) hatte, so hat A/tI, =
A» —
wirklich die in Betracht kommende maximale Ordnung:
/ OZZA , 0Z^ . z, )
7. -1 Sv -1 Aq wy • • J
r ’ Sp—1 ’ Sv—1 ’ ■ • • 1 0 4
X X X?
Dreiecksbeziehung: A^ß A^* A^/ = (A%j A)o A'QX)
JH
Umgekehrt kann aber nur dann ein Ausdruck 77 A^^"’ = E sein,
wenn er ein symbolisches Potenzprodukt von Ausdrücken
AXe A~X^AXfe ist: Angenommen, es sei A^IV = E-
Man kann erreichen, daß HJIV nur von Xi, X2, . . . Xv abhängt, indem
man für q > v einsetzt: AXß — AXv AVß Xf^. (Man muß diese Regu-
lierung bei den A12, a!13, . .. beginnen.) Außerdem möge noch H/IV mod
reduziert werden. Es ist nun zu zeigen, daß 77,(), = 0 wird.
Setzt man ein: A/IV = A'lf~X'1 Xp A'lrX^ Xr, und wird dabei
S0 mUß JetZt iedeS JQ=
Arnold Scholz:
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I, und es gilt die
= E
Ordnung: Ti =
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wo A' < 21' und S' ein geordnetes Potenzprodukt der S^, S2 A'12 2,
S'3 A'13 Xs, ... Sm A'im Xm, also von der Gestalt: 77 (S'{ ist.
Dieses System ist wieder eine Gruppe denn einmal ist 21' gegen-
über den S' invariant, und außerdem hinterläßt eine Transformation:
(S„ A[, X")S’1 A A’a Ä'A E A''>X’=S’fl aA‘ A’äXl
nur einen Kommutator: A'^ ' " < 21'.
Die Gruppe @' ist nun tatsächlich eine Zweiggruppe vom Typ
(Z7l\ . . . l^m; Z&): Es ist, wenn man S'a = Su setzt, Ord (S„)
= Z^, da Ord (S^) = Z7^ und = E. Als Kommutator
Xj X
von S,, mit erhält man AL;?t — A) z Es ist tatsächlich
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A^ = A^ e, und die Kommutatoren A^u erzeugen symbolisch die
Gruppe 21'; außerdem ist @'/2l' eine Abelsche Gruppe vom vorge-
schriebenen Typ: (Z7\ . . . Z7i?”), 21' dann wirklich die Kommutator-
gruppe von und Ord ($u) = Ord (Slt 21') = Z7*U Es bleibt noch zu
zeigen, daß die Kommutatorgruppe 21' die in Aussicht gestellte maxi-
male Ausdehnung hat: Da jedes A'f(V — 1 A1V die symbolische
fz7'’, Sil —1, . . . Sm ™— 1) hatte, so hat A/tI, =
A» —
wirklich die in Betracht kommende maximale Ordnung:
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Dreiecksbeziehung: A^ß A^* A^/ = (A%j A)o A'QX)
JH
Umgekehrt kann aber nur dann ein Ausdruck 77 A^^"’ = E sein,
wenn er ein symbolisches Potenzprodukt von Ausdrücken
AXe A~X^AXfe ist: Angenommen, es sei A^IV = E-
Man kann erreichen, daß HJIV nur von Xi, X2, . . . Xv abhängt, indem
man für q > v einsetzt: AXß — AXv AVß Xf^. (Man muß diese Regu-
lierung bei den A12, a!13, . .. beginnen.) Außerdem möge noch H/IV mod
reduziert werden. Es ist nun zu zeigen, daß 77,(), = 0 wird.
Setzt man ein: A/IV = A'lf~X'1 Xp A'lrX^ Xr, und wird dabei
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