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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0004
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Reinhold Baee:
stetige“ Räume den Eindruck der Stetigkeit erwecken können: Jeder
Punkt ist ja Limes von sich selbst.1)
Bedenken wir schließlich, daß es Aufgabe der Topologie ist, die
Eigenschaften der Räume zu studieren, welche allein am Begriff der
Stetigkeit hängen, so erscheint es sachgemäß, diesen Begriff zur Be-
gründung der Topologie zu benutzen. Präziser heißt das folgendes:
Wir haben anzugeben, welche Abbildungen irgendwelcher Teilmengen
des Raumes in irgendwelchen Punkten stetig sind und welche nicht.
Wir werden im folgenden sowohl eine Axiomatik der Hp-Relation
als auch eine der Stetigkeit geben, die denselben Begriff des topo-
logischen Raumes wie die Hausdorffschen Umgebungsaxiome liefern.
Damit werden wir eine Untersuchung des Verhältnisses der verschie-
denen topologischen Grundbegriffe zueinander verbinden und insbeson-
dere die Unabhängigkeit der benutzten Axiomensysteme erweisen.
Schließlich geben wir noch ein allgemeines Verfahren an, das jede
Gruppe topologischer Abbildungen in eindeutig durch den Raum be-
stimmter Weise zu einem topologischen Gruppenraum2) macht.
In einem Anhang zeigen wir, daß der Weg, die Topologie von
der Abbildungsgruppe des Raumes her zu begründen, ungangbar ist.
Bezeichnungen:
A <[ B = die Menge A ist echte Teilmenge der Menge B.
a s A — a ist Element der Menge A.
A B = Durchschnitt der Mengen A und B.
A V B = Vereinigungsmenge der Mengen A und B.
A — B = Komplement der Teilmenge B von A in A.
Hp = Häufungspunkt.
§ 1. Das System der Grundbegriffe.
Die Grundbegriffe:
1. Die Menge U<[Di ist „Umgebung“ des Punktes h e 11.
2. Die Menge £) <[ Di ist „offen“.
3. Die Menge Dl < Di ist „abgeschlossen“.
Zusatz bei der Korrektur: Ansätze zu einer Axiomatik der Hp-Relation
finden sich bei F. Riess : Atti del IV congresso dei matematici, Roma 1908, Bd. 2,
S. 18—24, und L. Vietoeis: Monatshefte für Math. u. Phys., Bd. 31 (1921), S. 176.
Jedoch fehlen bei Riess die von uns mit (Hp 3) und (Hp 5) bezeichneten
Sätze, bei Vietoeis (Hp 8). Dieser übersieht auch, daß zum Nachweis der Gleich-
wertigkeit mit den Hausdoeff sehen Axiomen der Nachweis des von uns mit
(1; 4) [bezw. (2; 4)] bezeichneten Satzes nötig ist; vgl. S. 8, bes. Anm. 2). [Ge-
braucht wird übrigens (Hp 3) zum Beweis des Trennbarkeitsaxioms.]
2) Vgl. R. Baee: Journ. f. d. r. u. angew. Math., Bd. 160, 3. 208—226.
Reinhold Baee:
stetige“ Räume den Eindruck der Stetigkeit erwecken können: Jeder
Punkt ist ja Limes von sich selbst.1)
Bedenken wir schließlich, daß es Aufgabe der Topologie ist, die
Eigenschaften der Räume zu studieren, welche allein am Begriff der
Stetigkeit hängen, so erscheint es sachgemäß, diesen Begriff zur Be-
gründung der Topologie zu benutzen. Präziser heißt das folgendes:
Wir haben anzugeben, welche Abbildungen irgendwelcher Teilmengen
des Raumes in irgendwelchen Punkten stetig sind und welche nicht.
Wir werden im folgenden sowohl eine Axiomatik der Hp-Relation
als auch eine der Stetigkeit geben, die denselben Begriff des topo-
logischen Raumes wie die Hausdorffschen Umgebungsaxiome liefern.
Damit werden wir eine Untersuchung des Verhältnisses der verschie-
denen topologischen Grundbegriffe zueinander verbinden und insbeson-
dere die Unabhängigkeit der benutzten Axiomensysteme erweisen.
Schließlich geben wir noch ein allgemeines Verfahren an, das jede
Gruppe topologischer Abbildungen in eindeutig durch den Raum be-
stimmter Weise zu einem topologischen Gruppenraum2) macht.
In einem Anhang zeigen wir, daß der Weg, die Topologie von
der Abbildungsgruppe des Raumes her zu begründen, ungangbar ist.
Bezeichnungen:
A <[ B = die Menge A ist echte Teilmenge der Menge B.
a s A — a ist Element der Menge A.
A B = Durchschnitt der Mengen A und B.
A V B = Vereinigungsmenge der Mengen A und B.
A — B = Komplement der Teilmenge B von A in A.
Hp = Häufungspunkt.
§ 1. Das System der Grundbegriffe.
Die Grundbegriffe:
1. Die Menge U<[Di ist „Umgebung“ des Punktes h e 11.
2. Die Menge £) <[ Di ist „offen“.
3. Die Menge Dl < Di ist „abgeschlossen“.
Zusatz bei der Korrektur: Ansätze zu einer Axiomatik der Hp-Relation
finden sich bei F. Riess : Atti del IV congresso dei matematici, Roma 1908, Bd. 2,
S. 18—24, und L. Vietoeis: Monatshefte für Math. u. Phys., Bd. 31 (1921), S. 176.
Jedoch fehlen bei Riess die von uns mit (Hp 3) und (Hp 5) bezeichneten
Sätze, bei Vietoeis (Hp 8). Dieser übersieht auch, daß zum Nachweis der Gleich-
wertigkeit mit den Hausdoeff sehen Axiomen der Nachweis des von uns mit
(1; 4) [bezw. (2; 4)] bezeichneten Satzes nötig ist; vgl. S. 8, bes. Anm. 2). [Ge-
braucht wird übrigens (Hp 3) zum Beweis des Trennbarkeitsaxioms.]
2) Vgl. R. Baee: Journ. f. d. r. u. angew. Math., Bd. 160, 3. 208—226.