Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen clen Grundbegriffen der Topologie.

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4. Der Punkt p s 91 ist Hp von 991 <19t.
5. Die eineindeutige1) Abbildung a von 991 < 91 ist in p e 991
„stetig“.
Die verbindenden Sätze:
(1; 2).2) Eine Menge 991 91 ist dann und nur dann offen, wenn
sie mit jedem Punkte eine ganze Umgebung dieses Punktes als Teil-
menge enthält.
(1;4). p ist dann und nur dann Hp von 991, wenn in jeder Um-
gebung von p unendlich viele Punkte aus 991 vorkommen, oder, was
dasselbe besagt, ein von p verschiedener Punkt aus 991 auftritt.
(2; 3). Die Menge 991 < 9i ist dann und nur dann abgeschlossen,
wenn ihr Komplement 91 — 991 in 91 offen ist.
(2; 4). p ist dann und nur dann Hp von 991, wenn in jeder p
enthaltenden, offenen Menge unendlich viele, oder, was dasselbe besagt,
ein von p verschiedener Punkt aus 991 auftritt.
(3; 2). Die Menge 991 91 ist dann und nur dann offen, wenn
ihr Komplement 91 991 in 91 abgeschlossen ist.
(4; 3). Die Menge 991 91 ist dann und nur dann abgeschlossen,
wenn sie jeden ihrer Hp enthält.
(4; 5). Die eineindeutige Abbildung a der Menge 991 <=91 ist
dann und nur dann im Punkte p £ 991 stetig, wenn für jede Teilmenge
S < 991 gilt: wenn p Hp von X ist, so ist a (p) Hp der Bildmenge a ($).
Die Wege zum Aufbau des Begriffssystems:
1. Ist der Umgebungsbegriff Grundbegriff, so definiert man durch
(1; 2), den der offenen Menge, durch (1; 4) den des Hp, durch (4; 3)
den der abgeschlossenen Menge, durch (4; 5) den der stetigen Ab-
bildung, während (2; 3), (2; 4), (3; 2) beweisbare Sätze sind.
2. Ist der Begriff der offenen Menge Grundbegriff, so sind (2; 4),
(4; 3), (4; 5) Definitionen, (2; 3), (3; 2) beweisbare Sätze.3)
3. Ist der Begriff der abgeschlossenen Menge Grundbegriff, so
sind (3; 2), (2; 4), (4; 5) Definitionen, (2; 3), (4; 3) beweisbare Sätze.3)
b In. § 3 wird es sich erweisen, daß es genügt, die eineindeutigen Abbil-
dungen zu studieren. Wir werden daher im folgenden unter Abbildung stets eine
eineindeutige Abbildung einer Teilmenge des Raumes auf eine [andere oder die-
selbe] Teilmenge desselben Raumes verstehen.
2) Vermöge der Beziehung (m; n) geht der mit n numerierte Begriff aus
dem mit m numerierten hervor.
3) Der Begriff der Umgebung läßt sich nicht wieder gewinnen, da es viele
gleichberechtigte Umgebungssysteme [Umgebungsbegriffe] gibt, die vermöge
(1; 2) denselben Begriff der offenen Menge liefern und damit den gleichen topo-
logischen Raum definieren.

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