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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0006
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Reinhold Baer:
4. Ist die Relation des Hp Grundbegriff, so sind (4; 3), (3; 2),
(4; 5) Definitionen, (2; 3), (2; 4) beweisbare Sätze.1)
5. Ist der Begriff der stetigen Abbildung Grundbegriff, so fehlt
uns noch ein Satz (5; 4), der die Definition des Hp leistet; diesen
werden wir im § 3 herleiten. Weiter sind dann (4; 3), (3; 2) Definitionen,
während (2; 3), (2; 4), (4; 5) beweisbare Sätze sind.1)
§2. Die Axiomatik der Hp-Relation.
Wir leiten jetzt aus den Hausdorff sehen Umgebungsaxiomen2)
eine Reihe von Sätzen über die Hp-Relation her [Weg 1 des § 1!],
aus denen wir nachher auf dem im § 1 skizzierten Wege 4 die Tietze-
schen3) Sätze über offene Mengen gewinnen werden, die auf dem
Wege 2 des § 1 den gleichen Begriff des topologischen Raumes auf-
zubauen gestatten, wie die Hausdorff sehen Umgebungsaxiome vermöge
Weg 1 des § 1. Damit ist dann gezeigt, daß unsere Sätze über die
Hp-Relation ein dem Hausdorff sehen gleichwertiges Axiom ensystem
für topologische Räume bilden.
(Hp 1). Ist TI DI <1 DI und p Hp von TI, so ist p auch Hp>
von Di.
Denn ist U irgendeine Umgebung von p, so ist wegen TU 11 <^DU11
mit TU 11 auch DU 11 unendlich.
(Hp 2). Ist Ti = [q], so kann p nicht Hp von TI sein.
Denn für jede Umgebung 11 von p ist TU U stets endlich.
(Hp 3). Ist pi E Di (i = 1, 2), Pi 4 p2, 0 < Ti U Di, so gibt es eine
Zerlegung Ti = Tii V Ti2, so daß p^ nicht Hp von Tt$ ist.
Denn es gibt eine Umgebung Uj von px, U2 von p2, so daß
Ui H2 = 0 ist.4)
Sei 531 = Di - und Ti, = TU 331, DJi2 = Ti - Tir Dann ist:
Tii = DU- (Di - 111) = DJi- (TU Ui)
Ti2 = Ti Tii = Ti - [Ti - (TUUX)] = TUUr
pi ist nicht Hp von Tii, denn es ist:
Tii - Ui = [DJi - (Ti - Ui)] ~ Ui = 0.
p9 ist nicht Hp von Ti2, denn es ist:
Ti2 n n2 = (Ti - Ul)-U2 - Ti - (llull2) = Ti-o - 0.
Schließlich ist nach Definition: Ti = Tii V Ti2.
(Hp 4). Ist p 7Zp von Ti = Tix V Ti2, so ist p Hp von wenigstens
einer der Mengen Tii und Ti2.
b Vgl. S. 5, Anm. 3).
2) Vgl. F. Hausdorff: Mengenlehre, l.Aufl., Leipzig 1914, S. 213.
3) Vgl. S. 3, Anm. 2). 4) Wegen Umgebungsaxiom (D).
Reinhold Baer:
4. Ist die Relation des Hp Grundbegriff, so sind (4; 3), (3; 2),
(4; 5) Definitionen, (2; 3), (2; 4) beweisbare Sätze.1)
5. Ist der Begriff der stetigen Abbildung Grundbegriff, so fehlt
uns noch ein Satz (5; 4), der die Definition des Hp leistet; diesen
werden wir im § 3 herleiten. Weiter sind dann (4; 3), (3; 2) Definitionen,
während (2; 3), (2; 4), (4; 5) beweisbare Sätze sind.1)
§2. Die Axiomatik der Hp-Relation.
Wir leiten jetzt aus den Hausdorff sehen Umgebungsaxiomen2)
eine Reihe von Sätzen über die Hp-Relation her [Weg 1 des § 1!],
aus denen wir nachher auf dem im § 1 skizzierten Wege 4 die Tietze-
schen3) Sätze über offene Mengen gewinnen werden, die auf dem
Wege 2 des § 1 den gleichen Begriff des topologischen Raumes auf-
zubauen gestatten, wie die Hausdorff sehen Umgebungsaxiome vermöge
Weg 1 des § 1. Damit ist dann gezeigt, daß unsere Sätze über die
Hp-Relation ein dem Hausdorff sehen gleichwertiges Axiom ensystem
für topologische Räume bilden.
(Hp 1). Ist TI DI <1 DI und p Hp von TI, so ist p auch Hp>
von Di.
Denn ist U irgendeine Umgebung von p, so ist wegen TU 11 <^DU11
mit TU 11 auch DU 11 unendlich.
(Hp 2). Ist Ti = [q], so kann p nicht Hp von TI sein.
Denn für jede Umgebung 11 von p ist TU U stets endlich.
(Hp 3). Ist pi E Di (i = 1, 2), Pi 4 p2, 0 < Ti U Di, so gibt es eine
Zerlegung Ti = Tii V Ti2, so daß p^ nicht Hp von Tt$ ist.
Denn es gibt eine Umgebung Uj von px, U2 von p2, so daß
Ui H2 = 0 ist.4)
Sei 531 = Di - und Ti, = TU 331, DJi2 = Ti - Tir Dann ist:
Tii = DU- (Di - 111) = DJi- (TU Ui)
Ti2 = Ti Tii = Ti - [Ti - (TUUX)] = TUUr
pi ist nicht Hp von Tii, denn es ist:
Tii - Ui = [DJi - (Ti - Ui)] ~ Ui = 0.
p9 ist nicht Hp von Ti2, denn es ist:
Ti2 n n2 = (Ti - Ul)-U2 - Ti - (llull2) = Ti-o - 0.
Schließlich ist nach Definition: Ti = Tii V Ti2.
(Hp 4). Ist p 7Zp von Ti = Tix V Ti2, so ist p Hp von wenigstens
einer der Mengen Tii und Ti2.
b Vgl. S. 5, Anm. 3).
2) Vgl. F. Hausdorff: Mengenlehre, l.Aufl., Leipzig 1914, S. 213.
3) Vgl. S. 3, Anm. 2). 4) Wegen Umgebungsaxiom (D).