Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

(S 3). Sei 551^51 und p;s551 («=1,2) beliebig; dann gibt es
eine Zerlegung 551 = 551x V 5512, bi £ Ali, so daß alle Abbildungen von
Ali in p; stetig sind.
Gemäß (Hp 4) gibt es eine Zerlegung 511 = 5lx V 512, so daß p;
nicht Hp von 51; ist. Setzen wir 551; = 51; V { p; }, so ist wegen (Hp 1)
p; kein Hp von 551;; gewiß ist aber 551 = 5551t v/ 5512. Wegen (5; 4) sind
alle Abbildungen von 55t; in p; stetig.
(S 4). Sei 551 = 551x V 55t2, et; eine in p e 551; stetige Abbildung von
551; (« = 1, 2) und ax (m) = a2 (m) für alle m £ 551x 55t2.
Ist dann ß eine Abbildung von 551, so daß ^(nt) = a;(ttt) für alle
in £ 551; (i = 1, 2) ist [ß ist die aus ctx und a2 „zusammengesetzte“ Ab-
bildung^ so ist ß in p stetig.
Sei nämlich 35 <(551 und p Hp von 35. Dann ist 35 = 35x \/ 352 nut
5; = 5 o 551;. Weiter ist ß (p) = ctx (p) = a2 (p) und ß (35) = ctx (35) V a2 (35).
Da p Hp von 35 ist, so ist p wegen (Hp 4) Hp von wenigstens
einer der JVIengen 35x und 352. O. B. d. A. sei p Hp von 35x.
Wegen (4; 5) ist dann . ctx(p) Hp von ax (35x). Also ist wegen
(Hp 1) und ax (35x) < ß (35) auch ß(p) Hp von (35), d. h. ß ist in p
stetig.
(S 5). Sei 55t = {p} V 21 V 33.
Ist dann jede Abbildung von 21 V {p in p stetig, so ist entweder
jede Abbildung von 33 ü {p } in p stetig, oder es gibt einen Punkt qeSB,
so daß jede Abbildung von 21 <{(•]} in Q stetig ist.
Aus (Hp 5) folgt nämlich sofort:
Wenn p kein Hp von 21 ist, so ist entweder p kein Hp von 33,
oder nicht jeder Punkt von 33 ist Hp von 21. Hieraus und aus Satz
(5; 4) folgt (S 5).
(S 6). Ist die Abbildung a von 551 in p £ 551 stetig und die Ab-
bildung ß von a (551) in a(p) stetig, so ist die Abbildung a • ß == ß
von 551 in p stetig.
Sei 35 551 und p Hp von 551. Dann ist a (35) <( a (551) und wegen
(4; 5) a(p) Hp von et (35). Da ß in a (p) stetig ist, so ist wieder wegen
(4; 5) ß(a(p)) Hp von /?(a(35)), d. h. a ■ ß ist in p stetig.
(S 7). Ist die Abbildzing a von 551 in p £ 551 unstetig, so gibt es
eine Teilmenge 35 <( 5)1, p £ 35, so daß die mit a in % übereinstimmende
Abbildung ß von 35 in p unstetig ist, aber jede Abbildung von a (35) = ß(35)
wz a (p) = ß (p) stetig ist.
Ist nämlich die Abbildung a von 551 in p unstetig, so ist gewiß
p Hp von 551 ((5; 4) !J. Es muß dann eine Teilmenge 35 <^ 251 geben,