Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen clen Grundbegriffen der Topologie.

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so daß D Hp von X, aber a (p) nicht Hp von a (ß±ß ist, d. h. die mit
a in X übereinstimmende Abbildung ß ist in p unstetig und wegen
(5; 4) ist jede Abbildung von a (X) in a (p) stetig.
Sei jetzt umgekehrt 91 eine Menge von Punkten, für die erklärt
sei, wann eine [eineindeutige] Abbildung einer Teilmenge 991 <91 in
einem Punkte von 991 stetig ist, und wann nicht; und zwar genüge
diese Erklärung der Stetigkeit (S 1)—(S 7).
Wir definieren jetzt durch (5; 4) die Hp-Relation und haben dann
zu zeigen, daß diese (Hp 1)—(Hp 5) erfüllt, sowie daß unsere Erklä-
rung der stetigen Abbildung mit der sich aus (4; 5) ergebenden über-
einstimmt, d. h. daß (4; 5) ein beweisbarer Satz ist.
Ad (Hp 1): Sei pe91<9H. Ist dann jede Abbildung von 991 in
p stetig, so wegen (S 1) auch jede Abbildung von 91 in p. Also ist
gemäß (5; 4) p gewiß kein Hp von 91, wenn p kein Hp von 991 ist.
Ad (Hp 2): Sei 991 = { p } und q e 91 beliebig. Wegen (S 2) ist
jede Abbildung der Menge (p, q in q stetig. Also ist wegen (5; 4)
q kein Hp von {p, q|, also wegen (Hp 1) auch kein Hp von 991.
Ad (Hp 3): Folgt wegen (5; 4) ohne weiteres aus (S 3).
Ad (Hp 4): Sei 991 = 991x V 99I2, p e 911; = 1, 2). Ist dann p Hp
weder von noch von 9912, so ist jede Abbildung von 991; in p
stetig. [Wegen (5; 4)]. Ist weiter a irgendeine Abbildung von 991,
so gibt es eine Abbildung «; von 991;, die in 991; mit. a übereinstimmt.
Wegen (S 41 ist also jedes a in p stetig, wegen (5; 4) also p kein Hp
von 99t, wenn p weder Hp von 991T noch von 9912 ist.
Ad (Hp 5): Folgt vermöge (5; 4) ohne weiteres aus (S 5).
Man bemerke, daß zur Herleitung von (Hp 1) — (Hp 5) abgesehen
von (5; 4) nur (S 1)— (S 5) benutzt wurden.
Ad (4;5)x): A. Sei a eine in p £ 991 < 9t stetige Abbildung von 99t.
Weiter sei peX<]991 und p Hp von X. Wir haben zu zeigen, daß
dann auch a (p) Hp von a (X) ist.
Angenommen, dies wäre nicht der Fall; dann wäre gemäß (5; 4)
jede Abbildung von a (p) in a (X) stetig. Ist jetzt ß eine beliebige
Abbildung von X, so ist ß — a • (a —1 • /?) = a • y, da ja unsere Abbil-
1) Hier ist eine analoge Bemerkung zu machen wie die Anmerkung 1 2) S. 8
beim Beweis des Satzes (2; 4) des §2. Nur liegen hier die Dinge insofern
interessanter, als es, wie sich später zeigen wird, Systeme „pseudostetiger“ Ab¬
bildungen gibt, die (S 1) — (S 5) erfüllen, und also auf Grund von (5; 4) eine
Hp-Relation zu definieren gestatten, die (Hp 1) — (Hp 5) genügt, aber nicht mit
der Gesamtheit der gemäß (4; 5) stetigen Abbildungen übereinstimmen.