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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0014
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Reinhold Baer:
düngen eineindeutige Abbildungen sind. Nach obigem ist y eine in
a (p) stetige Abbildung von a (X). Da nach (S 1) a auf X in p stetig
ist, so ist gemäß (S 6) a • y = ß auf $ in p stetig. Also folgt aus
(5; 4): ist a (p) kein Hp von a(X) und a in p stetig, so ist p auch
kein Hp von X.
Also ist bei stetigen Abbildungen das Bild eines Hp wieder ein Hp.
Man bemerke, daß, um zu beweisen, daß jede in unserem Sinne
stetige Abbildung es auch im Sinne von (4; 5) ist, wesentlich nur (S 6)
gebraucht wurde.
B. Sei a eine in p unstetige Abbildung von 991, pe99t. Wegen
(S 7) gibt es dann eine Teilmenge X<^9Jt, pfiX, so daß die Abbildung
t von X, die in X mit a übereinstimmt, in p unstetig ist, aber jede
Abbildung von r (X) = a (X) in t (p) = a (p) stetig ist. Wegen (5; 4) ist
also p zwar HP von X, aber a (p) nicht Hp von a (X).
Man bemerke, daß, um zu zeigen, daß jede in unserem Sinne un-
stetige Abbildung es auch im Sinne von (4; 5) ist, wesentlich nur
(S 7) benutzt wurde.
Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome.
Ad (S 1): 9t = {px, p2, . . pM, . .
Ist 9JI < 9t eine echte, aber unendliche Teilmenge von 9i, die px
enthält, so ist eine Abbildung von 9)1 dann und nur dann in px un-
stetig, wenn das Bild von px von px verschieden ist. Alle anderen
Abbildungen sind stetig.
Daß (S 1) nicht erfüllt ist, (S 2) — (S 7) es aber sind, verifiziert
man sofort.
Ad (S 2): 9t = {p, q}.
Die Abbildung a mit a(p) = q, a(q) = p sei in p unstetig, in q
stetig. Die übrigen Abbildungen von Teilmengen von 9t sind überall
stetig. Dann sind (S 1), (S 3) — (S 7) erfüllt, (S 2) nicht.
Ad (S 3): 9t = { pj, p2, Oi, Og, ••., • • • j-•
Jede Abbildung einer beliebigen Teilmenge von 9t ist in stetig.
Ebenso ist jede Abbildung einer beliebigen Menge in p^ stetig, wenn
das Bild von p{ ein pfc ist. Jede Abbildung einer endlichen Menge
ist in pi stetig.
Jede Abbildung einer unendlichen Menge ist in pi unstetig, wenn
das Bild von pi ein az. ist.
Werde jetzt 9t irgendwie in zwei Teile zerlegt: 9t = 9t1v9i2, so
ist einer dieser Teile unendlich, etwa 9tr Es gibt dann in pf unstetige
Reinhold Baer:
düngen eineindeutige Abbildungen sind. Nach obigem ist y eine in
a (p) stetige Abbildung von a (X). Da nach (S 1) a auf X in p stetig
ist, so ist gemäß (S 6) a • y = ß auf $ in p stetig. Also folgt aus
(5; 4): ist a (p) kein Hp von a(X) und a in p stetig, so ist p auch
kein Hp von X.
Also ist bei stetigen Abbildungen das Bild eines Hp wieder ein Hp.
Man bemerke, daß, um zu beweisen, daß jede in unserem Sinne
stetige Abbildung es auch im Sinne von (4; 5) ist, wesentlich nur (S 6)
gebraucht wurde.
B. Sei a eine in p unstetige Abbildung von 991, pe99t. Wegen
(S 7) gibt es dann eine Teilmenge X<^9Jt, pfiX, so daß die Abbildung
t von X, die in X mit a übereinstimmt, in p unstetig ist, aber jede
Abbildung von r (X) = a (X) in t (p) = a (p) stetig ist. Wegen (5; 4) ist
also p zwar HP von X, aber a (p) nicht Hp von a (X).
Man bemerke, daß, um zu zeigen, daß jede in unserem Sinne un-
stetige Abbildung es auch im Sinne von (4; 5) ist, wesentlich nur
(S 7) benutzt wurde.
Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome.
Ad (S 1): 9t = {px, p2, . . pM, . .
Ist 9JI < 9t eine echte, aber unendliche Teilmenge von 9i, die px
enthält, so ist eine Abbildung von 9)1 dann und nur dann in px un-
stetig, wenn das Bild von px von px verschieden ist. Alle anderen
Abbildungen sind stetig.
Daß (S 1) nicht erfüllt ist, (S 2) — (S 7) es aber sind, verifiziert
man sofort.
Ad (S 2): 9t = {p, q}.
Die Abbildung a mit a(p) = q, a(q) = p sei in p unstetig, in q
stetig. Die übrigen Abbildungen von Teilmengen von 9t sind überall
stetig. Dann sind (S 1), (S 3) — (S 7) erfüllt, (S 2) nicht.
Ad (S 3): 9t = { pj, p2, Oi, Og, ••., • • • j-•
Jede Abbildung einer beliebigen Teilmenge von 9t ist in stetig.
Ebenso ist jede Abbildung einer beliebigen Menge in p^ stetig, wenn
das Bild von p{ ein pfc ist. Jede Abbildung einer endlichen Menge
ist in pi stetig.
Jede Abbildung einer unendlichen Menge ist in pi unstetig, wenn
das Bild von pi ein az. ist.
Werde jetzt 9t irgendwie in zwei Teile zerlegt: 9t = 9t1v9i2, so
ist einer dieser Teile unendlich, etwa 9tr Es gibt dann in pf unstetige