Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

a = ax-a2 bewirkt: a(hn)~ p2n und ist in hx unstetig. Also ist
(S 6) nicht erfüllt, dagegen (S 1) —(S 5) und (S 7), da jede Abbildung
in p2 stetig ist.
Ad (S 7): $ = {hi> p2, • • pn,
Jede Abbildung ist in hi mit «>2 stetig. Ist T1<[T unendlich,
so ist jede Abbildung von TI, die h; Ü = 1, 2) in hi 4 h? überführt, in
h?- unstetig, wenn nur TI unendlich viele hi mit i=j (mod 2) enthält.
(S 1) — (S 6) sind erfüllt, (S 7) aber nicht; sei nämlich
$t = {hl> •> P2n + 1> ••>} Und a(p2€-l) = p2i’ Dann ist « in
unstetig, aber ebenso ist jede Abbildung einer unendlichen Teilmenge von
a (501) = { ])2n } in a (hx) = h2 unstetig.
§ 4. In einen Punkt stetig fortsetzbare Abbildungen.
Definition; Sei Tl<)<)i beliebig und h $ TI. Die [eineindeutige]
Abbildung a von TI heißt in h stetig fortsetsbar, wenn es eine Ab-
bildung ß von TI V { h }
1. in h stetig ist,
2. in TI mit a übereinstimmt.
Satz: Sei Tl<iT und h«Tc.
a) Ist h Up von TI, so läßt sich eine beliebig vorgegebene Abbildung
a von TI auf höchstens eine Weise stetig in h fortsetzen.
b) Ist aber h nicht IIp von TI, so geht dies für jedes a auf be-
liebig viele Weisen.
Sei nämlich h Hp von TI und ßt (i — 1,2) zwei verschiedene
Fortsetzungen einer Abbildung a von TI in h- Dann ist also ß1(fi) 4 /?2(h)-
Ist jetzt T < TI derart, daß h Hp von & ist, so ist ßifp) Hp
von a(j£).
Insbesondere sind also ßi(jg) und ßpdf) Hp von a (TI)- Also gibt
es nach (Hp 3) und (Hp 4) eine Zerlegung:
a(Tt) = a(Tti)Va(TU
|a ist ja eine eineindeutige Abbildung], so daß /?f(h) zwar Hp von
a (Tlf), aber nicht Hp von a(Tt$ + t) ist.
Nun ist h Hp von Tl = Ttx V Tl2, also nach (Hp 4) Hp wenigstens
einer der Mengen Tlx und Tl2- O. B. d. A. sei h Hp von Tlx. Dann
müßte auch ß2(h) Hp von a (Tlx) sein [gemäß (4:5)], was zu einem
Widerspruch führt.
b) folgt sofort aus (5; 4), da ja in einem nicht-Hp jede Abbildung
stetig ist.
Dieser Satz liefert eine Möglichkeit, den Begriff des topologischen