Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

2. Sei JE = <JaJ>; dann kann ö nicht Hp von J\I sein, da weder
b (p) Hp von 2l/(p) noch b (p) gleich unendlich vielen Elementen von
71/(p) sein kann. (Hp 2) gilt also in G.
3. Sei JE<^ G und o^e G (i = 1, 2) beliebig, ax a2; dann gibt es
ein p e Di, so daß «x (p) a2 (p); dies p sei im folgenden festgehalten.
Wegen (Hp 3) gibt es dann eine Zerlegung: JE(p) = J/1 (p) V JE3(p),
so daß «HP) nicht Hp von JE^p) ist, und so daß nicht für unendlich
viele 772 g JE,- gilt: m (p) = (p).1) Dann ist aber auch nicht Hp von
JEi, d. h. (Hp 3) ist in G erfüllt.
4. Sei JE = J/x V JZ2 und a Hp von JE Wir haben zu zeigen,
daß a Hp wenigstens einer der beiden Mengen JEX und JE2 ist.
Sei etwa a nicht Hp von JE2; dann gibt es eine Zerlegung
7l/2 = JE2 x v ... v JE2 n,
so daß es für jedes i wenigstens ein p e Dl gibt, so daß weder a(p)
Hp von J/i(p), noch daß für unendlich viele m e JE,- gilt: iz(p) = m (p).
Sei jetzt J/j = JEXX V ... V J/lwi eine beliebige Zerlegung von JEX.
Dann ist:
J/ = JEX1 V ... V Mlm V J/21 V ... V M2n
eine Zerlegung von M. Da a Hp von M ist, muß es unter den
Gliedern dieser Zerlegung eines geben, das für alle p e Di die Funda-
mentalbedingung der Definition erfüllt. Dies kann aber nach obigem
kein JE2i sein, muß also ein JExy sein, d. h. a ist Hp von JEX, W’omit
auch (Hp 4) verifiziert ist.
5. Sei a Hp von H<G und jedes Element von H Hp von
JE<Cr. Weiter sei JE = Mx V . . . V Mm eine Zerlegung. Dann gibt
es für jedes h e H ein J/,:, so daß für alle p e Di die Fundamental-
bedingung erfüllt ist. Alle auf diese Weise dem JZ$ zugeordneten
Elemente von H vereinigen wir zu einer Menge 22^, so daß gilt:
EE=EEj V ... V Hm.
Da a Hp von 2/ ist, so gibt es ein 2/^, so daß für alle p e Di ent-
weder u(p) Hp von 22i(p), oder a(p) = 7i(p) für unendlich viele
h e Hi gilt.
Fall 1: Sei a (p) Hp von 2Zj(p) für ein peDi. Dann ist
Hi (p) = (p) - JHi (p)J V [Hi (p) - (Hi (p) - J2j (p))J = EEU (p) V Hi2 (p).
Wegen (Hp 4) ist a (p) Hp wenigstens einer der beiden Mengen.
Ist a(p) Hp von 2ZU (p), so wegen (Hp 1) auch von JE^(p). Ist aber
J) Aus (Hp 3) folgt zunächst nur die Erfüllung der ersten Bedingung, jedoch
läßt sich die Einteilung ohne Verletzung der ersten Bedingung stets so einrichten,
daß die zweite erfüllt wird — man braucht ja nur etwa widersprechende Ele-
mente aus in 2l/b_|_x hinüberzutun.