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https://doi.org/10.11588/diglit.43593#0009
Über die Existenz der Lösungen gewöhnt. Differentialgleichungen.
9
Nach Nr. 2 gibt es ein Lösungssystem v/^Va;) (v=l, ...,n) von (22)
im Sinne (4) mit den Anfangswerten 2/[s] (£) = ^ im Intervall Jo:
£—d<a;<£ + d. [Dieses Intervall ergibt sich, wenn man in der
Naüumo sehen Bestimmung des Bereiches (a. a. 0. S. 218) mit Benutzung
der dortigen, von den unsrigen abweichenden Bezeichnungen setzt:
(l = s; ^0 = 0 C=1+Jto | k = t + s(l-^.] In
Jo ist also, mit Berücksichtigung von (19):
(23) M (x) >f* (x, y'iXx),.... </“(«)) S /?'* (®, rf’w, • • •> </»’(«))
> DL?1 W > Ai*1* (x, HiXx),..!/?(»)) > f* (x, !/?(«))
>— J7 (x)
(v = 1, •. w; s = 1,2, 3,.).
Da jedes D + y^ wegen des mittleren Teiles von (23) in Jy beschränkt
und daher summierbar ist, so gilt in J~o:
(24) | y[*] (z2) - (a^) | = | jto + y\°] (Z) dt | | J M(Z) dt |
Xr Xi
und, wenn wir die größte der Zahlen | yv | mit y bezeichnen,
(25) |^(«)|^^+|
4
(wobei alle Integrale im Lebesgueschen Sinn genommen sind). Die
(a?) (y=l,...,n; 8=1,2, 3, ) sind also in Jo wegen (25) gleich-
mäßig beschränkt und wegen (24) gleichgradig stetig. Man kann des-
halb Indexteilfolgen [s } (/z = 1, 2, 3, ....) aussondern, so daß die
Folge {«/^(a;)} in Jo gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion
yp (x) konvergiert (y = 1,..n).
Wendet man nun (mit Berücksichtigung der Halbstetigkeit von
und /**) den Hilfsatz von Nr. 3 auf
(23a) /'*(^^S/d(a;),...,yl?f ](^))^dJ^](«)^/^ (x,y[^\x),...,^](a))
an, so ergibt sich:
(26) f v (x, y-y (a),..., yn (x)) D , yv (a) lü /i (a(, y-^ (x),..., y n (aO),
womit der Satz bewiesen ist.
Auch hier besitzen die Funktionen yv(x) fast überall eine (end-
liche) Ableitung; dies folgt13) daraus, daß wegen (26) und (19) die
Derivierteu fast überall endlich sind.
13) Nach A. Denjoy, J. de math. (7) 1 (1915), S. 188/192 [vgl. auch «)].
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Nach Nr. 2 gibt es ein Lösungssystem v/^Va;) (v=l, ...,n) von (22)
im Sinne (4) mit den Anfangswerten 2/[s] (£) = ^ im Intervall Jo:
£—d<a;<£ + d. [Dieses Intervall ergibt sich, wenn man in der
Naüumo sehen Bestimmung des Bereiches (a. a. 0. S. 218) mit Benutzung
der dortigen, von den unsrigen abweichenden Bezeichnungen setzt:
(l = s; ^0 = 0 C=1+Jto | k = t + s(l-^.] In
Jo ist also, mit Berücksichtigung von (19):
(23) M (x) >f* (x, y'iXx),.... </“(«)) S /?'* (®, rf’w, • • •> </»’(«))
> DL?1 W > Ai*1* (x, HiXx),..!/?(»)) > f* (x, !/?(«))
>— J7 (x)
(v = 1, •. w; s = 1,2, 3,.).
Da jedes D + y^ wegen des mittleren Teiles von (23) in Jy beschränkt
und daher summierbar ist, so gilt in J~o:
(24) | y[*] (z2) - (a^) | = | jto + y\°] (Z) dt | | J M(Z) dt |
Xr Xi
und, wenn wir die größte der Zahlen | yv | mit y bezeichnen,
(25) |^(«)|^^+|
4
(wobei alle Integrale im Lebesgueschen Sinn genommen sind). Die
(a?) (y=l,...,n; 8=1,2, 3, ) sind also in Jo wegen (25) gleich-
mäßig beschränkt und wegen (24) gleichgradig stetig. Man kann des-
halb Indexteilfolgen [s } (/z = 1, 2, 3, ....) aussondern, so daß die
Folge {«/^(a;)} in Jo gleichmäßig gegen eine stetige Grenzfunktion
yp (x) konvergiert (y = 1,..n).
Wendet man nun (mit Berücksichtigung der Halbstetigkeit von
und /**) den Hilfsatz von Nr. 3 auf
(23a) /'*(^^S/d(a;),...,yl?f ](^))^dJ^](«)^/^ (x,y[^\x),...,^](a))
an, so ergibt sich:
(26) f v (x, y-y (a),..., yn (x)) D , yv (a) lü /i (a(, y-^ (x),..., y n (aO),
womit der Satz bewiesen ist.
Auch hier besitzen die Funktionen yv(x) fast überall eine (end-
liche) Ableitung; dies folgt13) daraus, daß wegen (26) und (19) die
Derivierteu fast überall endlich sind.
13) Nach A. Denjoy, J. de math. (7) 1 (1915), S. 188/192 [vgl. auch «)].