Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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A. Rosenthal: Über die Existenz der Lösungen usw.

5. Bezüglich der Tragweite der Voraussetzung (19) sei erwähnt,
daß (19) und die von Herrn Caratheodoby 14) benutzte Bedingung
(27) | /),(;£,[ gN(&) (v=l,
[wobei Nix') wieder eine summierbare Funktion bedeutet) übereinander
greifen. Dies zeigen die beiden folgenden Beispiele:

a) Auch wenn (27) nicht erfüllt ist, kann (19) erfüllt sein.

Beispiel:
(28) Ux,y) =

n für y = (n ganz und positiv)
0 überall sonst.


b) Auch wenn (27) erfüllt ist, braucht (19) nicht zu gelten.
Beispiel:
Im Intervall [0,11 werde eine nirgends dichte, perfekte Menge At
vom Maß | konstruiert15),
in den Lückenintervallen von A± werde eine nirgends dichte, perfekte
Menge A2 vom Maß konstruiert,

in den Lückenintervallen von + A2 +.. + An_l) werde eine nirgends
dichte, perfekte Menge An vom Maß konstruiert,

Die Vereinigungsmenge An= B bildet eine in |0,1| überall dichte
1
Menge vom Maß 1; die Komplementärmenge von B sei mit C be¬
zeichnet. Nun sei:
2n
-2, wenn x in An liegt,
0, wenn x in C liegt.
f(x,y) ist nach x summierbar, aberßz', ?/) überall im betrachteten
Bereich unendlich. —



Ersetzt man (19) durch die mehr verlangende Forderung (20), so
ergibt sich ohne weiteres: Aus (20) folgt stets (27), aber nicht um-
gekehrt.
14) C. Caratheodoky 3), S. 672.
16) Vgl. etwa Encykl. d. Math. Wiss. II C 9 a, Fußn. 366).