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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0003
Zur Theorie der algebraisch auflösbaren Polynome
und Zahlkörper von Primzahlgrad.
Von Friedrich Karl Schmidt in Erlangen.
1. In der vorliegenden Note gebe ich einerseits eine Charakterisie-
rung algebraisch auflösbarer Polynome von Primzahlgrad mit Koeffi-
zienten aus einem beliebigen Körper, andererseits eine Kennzeichnung
algebraisch auflösbarer Zahlkörper von Primzahlgrad, die beide trotz
der Einfachheit ihrer Herleitung bisher nicht bemerkt zu sein scheinen.
Beiden Kriterien ist eigentümlich, daß sie wesentlich Zerlegungseigen-
schaften benutzen, und zwar im einen Fall die Reduktionseigenschaften
des vorgelegten Polynoms bei Körpererweiterungen, im anderen Fall
die Art der Primidealzerfällung im gegebenen algebraischen Zahlkörper.
I. Ist K ein beliebiger, abstrakt definierter Körper, P(x) ein irre-
duzibles Polynom über K und bedeutet N den kleinsten zur vollständigen
Zerlegung von P(x) hinreichenden Normalkörper über K, so ist der
größte in N enthaltene Körper erster Art1) No über K ebenfalls Normal-
körper über K und P(x) heißt algebraisch auflösbar über K, wenn No
eine auflösbare Gruppe über K besitzt.2) Jedes über K durch Radikale
auflösbare Polynom P(x) ist nach bekannten Sätzen im Sinne der
eben gegebenen Definition über K algebraisch auflösbar. Die Um-
kehrung ist jedoch im allgemeinen nur bei vollkommenen1) Körpern K
richtig, da es über gewissen unvollkommenen1) Körpern zyklische Poly-
nome gibt, die durch Radikale nicht aufgelöst werden können.3) Ich
zeige nun:
Satz 1. Dann und nur dann, wenn P(x) über jedem Oberkörper A
von K, über dem es reduzibel wird, entweder genau einen Linear-
faktor oder lauter Linearfaktoren abspaltet, ist P(x) algebraisch auf-
lösbar über K und von Primzahlgrad.
1) Zu den benutzten Begriffen und Sätzen der allgemeinen Körpertheorie
vgl. E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journ. f. d. r. u. a. Math. 137
(1910) S. 167-309.
2) Im Falle eines Zahlkörpers K besagt die Definition des Textes, daß der
durch Adjunktion aller Nullstellen von P(x) aus K erzeugte Normalkörper eine
auflösbare Gruppe über K besitzen muß, was mit der üblichen Definition über-
einstimmt.
3) Vgl. dazu E. Artin und 0. Schreier Eine Kennzeichnung der reell ab-
geschlossenen Körper, Hamb. Abh. Bd. 5 (1927) S. 225ff.
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und Zahlkörper von Primzahlgrad.
Von Friedrich Karl Schmidt in Erlangen.
1. In der vorliegenden Note gebe ich einerseits eine Charakterisie-
rung algebraisch auflösbarer Polynome von Primzahlgrad mit Koeffi-
zienten aus einem beliebigen Körper, andererseits eine Kennzeichnung
algebraisch auflösbarer Zahlkörper von Primzahlgrad, die beide trotz
der Einfachheit ihrer Herleitung bisher nicht bemerkt zu sein scheinen.
Beiden Kriterien ist eigentümlich, daß sie wesentlich Zerlegungseigen-
schaften benutzen, und zwar im einen Fall die Reduktionseigenschaften
des vorgelegten Polynoms bei Körpererweiterungen, im anderen Fall
die Art der Primidealzerfällung im gegebenen algebraischen Zahlkörper.
I. Ist K ein beliebiger, abstrakt definierter Körper, P(x) ein irre-
duzibles Polynom über K und bedeutet N den kleinsten zur vollständigen
Zerlegung von P(x) hinreichenden Normalkörper über K, so ist der
größte in N enthaltene Körper erster Art1) No über K ebenfalls Normal-
körper über K und P(x) heißt algebraisch auflösbar über K, wenn No
eine auflösbare Gruppe über K besitzt.2) Jedes über K durch Radikale
auflösbare Polynom P(x) ist nach bekannten Sätzen im Sinne der
eben gegebenen Definition über K algebraisch auflösbar. Die Um-
kehrung ist jedoch im allgemeinen nur bei vollkommenen1) Körpern K
richtig, da es über gewissen unvollkommenen1) Körpern zyklische Poly-
nome gibt, die durch Radikale nicht aufgelöst werden können.3) Ich
zeige nun:
Satz 1. Dann und nur dann, wenn P(x) über jedem Oberkörper A
von K, über dem es reduzibel wird, entweder genau einen Linear-
faktor oder lauter Linearfaktoren abspaltet, ist P(x) algebraisch auf-
lösbar über K und von Primzahlgrad.
1) Zu den benutzten Begriffen und Sätzen der allgemeinen Körpertheorie
vgl. E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journ. f. d. r. u. a. Math. 137
(1910) S. 167-309.
2) Im Falle eines Zahlkörpers K besagt die Definition des Textes, daß der
durch Adjunktion aller Nullstellen von P(x) aus K erzeugte Normalkörper eine
auflösbare Gruppe über K besitzen muß, was mit der üblichen Definition über-
einstimmt.
3) Vgl. dazu E. Artin und 0. Schreier Eine Kennzeichnung der reell ab-
geschlossenen Körper, Hamb. Abh. Bd. 5 (1927) S. 225ff.
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