Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Theorie der algebraisch auflösbaren Polynome usw.

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Und entsprechend:
Satz 2a. Wenn B algebraisch auflösbar und vom Primzahlgrad q über
A ist, so besitzt das Erweiterungsideal 0 • p eines Primideals p von o,
das in 0 zerfällt, stets eine der beiden Zerlegungen:
0 ' p = SF oder 0 • p = $ • • ... • • ^g)e,
wo verschiedene Primideale bedeuten, vom Relativ-
7 — 1
grad 1 ist und ißj, ...alle den gleichen Relativgrad f = -
haben.

Abschnitt 2 enthält eine charakteristische Eigenschaft transitiver,
auflösbarer Permutationsgruppen von Primzahlgrad. In Abschnitt 5
führe ich endlich einige Folgerungen aus Satz 2 a an, die allein aus Eigen-
schaften der Diskriminante eines algebraischen Zahlkörpers bzw. Poly-
noms auf die Unauflösbarkeit der Gruppe zu schließen gestatten. Als
Spezialfall steckt in diesen Ergebnissen z. B. der Satz:

Ist P(x) — xq + a-pr?"1 + . .. . + aq ein über dem Körper P der
rationalen Zahlen irreduzibles Polynom vom, Primzahlgrad q 5
mit ganzen Koeffizienten und ist die Diskriminante von P(x) genau
durch die d-te Potenz der Primzahl p teilbar, wo d ungerade und 0 <d
q — 1
< ——— ist, so ist P(x) nicht algebraisch auflösbar über P.
XU

2. Über algebraisch auflösbare Permutationsgruppen von Primzahl-
grad. Es handelt sich um eine Kennzeichnung auflösbarer, transitiver
Permutationsgruppen von Primzahlgrad durch eine einfache Eigen-
schaft ihrer Permutationen.
Jede auflösbare, transitive Permutationsgruppe Qi von Primzahl-
grad q ist bekanntlich als Untergruppe in einer größten auflösbaren
Permutationsgruppe g-ten Grades, der sog. vollmetazyklischen Gruppe
g-ten Grades SS enthalten. Die Gruppe SS stimmt dabei überein mit
der Galoisschen Permutationsgruppe eines beliebigen irreduziblen Binoms
g-ten Grades über dem Körper P der rationalen Zahlen. Ein solches
Binom spaltet nun über einer Erweiterung von P, über der es reduzibel
wird, stets entweder genau einen oder lauter Linearfaktoren ab, und
diese Tatsache bedeutet gruppentheoretisch: Jede von der identischen
Permutation verschiedene intransitive Untergruppe der Gruppe SS nm-
faßt genau ein eingliedriges System der Intransitivität. Da 05 Unter-
gruppe von SS ist, folgt somit unmittelbar:
Satz 3. Ist 05 eine auflösbare, transitive Permutationsgruppe von Prim-
zahlgrad, so besitzt jede von der identischen Permutation verschiedene