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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0007
Zur Theorie der algebraisch auflösbaren Polynome usw.
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3. Beweis der Sätze la und 1. Ist das irreduzible Polynom P(x)
von erster Art über K, so ist auch der zugehörige Normalkörper N von
erster Art über K. d. h. es ist (in der Bezeichnung von 1) N = No. Die
Gruppe von N über K kann bekanntlich als transitive Permutations-
gruppe w-ten Grades der m-Nullstellen u1, ... ., am von P(x) d. h.
durch die sogenannte Galoisgruppe von P(x) über l< dargestellt werden.
Mit Hilfe bekannter Sätze der Galoisschen Theorie ergibt sich da-
her Satz la für Polynome P(x) von erster Art als unmittelbare Folge
des Satzes 3 und des Hilfssatzes. Ist dagegen P(x) von zweiter Art
und von Primzahlgrad über K, so muß es notwendig die Gestalt aoxv—ap
haben, wo p die Charakteristik von K bedeutet. In diesem Fall zerfällt
P(x) offenbar über jedem Oberkörper von K, über dem es reduzibel
wird, in lauter Linearfaktoren und Satz 1 a ist sicher richtig.
Mit Satz la ist zugleich der zweite Teil von Satz 1 allgemein be-
wiesen. Um den ersten Teil von Satz 1 zu bestätigen, nehmen wir zu-
nächst an, es sei das irreduzible Polynom P(x) von erster Art und m
sein Grad. Da P(x) über jeder Erweiterung von K, über der es reduzibel
wird, entweder genau einen oder lauter Linearfaktoren abspaltet, besitzt
jede von der identischen Permutation verschiedene intransitive Unter-
gruppe der Galoisgruppe @ von P(x) genau ein eingliedriges System
der Intransitivität. Jede von der identischen verschiedene Permutation
G aus ®, die kein m-gliedriger Zyklus ist, läßt daher genau eine Null-
stelle von P(x) fest. ® ist somit nach Satz 4 auflösbar und m-Prim-
zahl. Ist dagegen P(x) von zweiter Art, so muß der größte im zugehörigen
Normalkörper N über K enthaltene Körper erster Art No über K mit K
identisch sein, weil sonst P(x) über Nn in lauter Faktoren zerfällt, deren
Grad mindestens gleich der Charakteristik p von K, also größer als 1 ist.
P(x) ist daher gemäß unserer Definition algebraisch auflösbar und von
der Form axv — b. Dabei muß endlich noch / = 1 sein, weil P(x)
sonst über K 3 reduzibel würde, ohne einen Linearfaktor ab¬
zuspalten.
4. Beweis der Sätze 2 a und 2. Der Beweis des Satzes 2a stützt
sich auf folgende Tatsachen.1) Ist M der kleinste B enthaltende Normal-
körper über A, U die Hauptordnung2) von M und iß ein im Erweiterungs-
ideal U • p des Primideals p aufgehendes Primideal aus £>, so ordnet
man iß bekanntlich gewisse eindeutig bestimmte Unterkörper von
1) Vgl. F. K. SCHMIDT, Reziprozitätssätze für Primidealzerlegungen und ihre
Beziehung zu Arbeiten des Herrn 0. Ore.
2) Siehe Anm. 2 S. 4.
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3. Beweis der Sätze la und 1. Ist das irreduzible Polynom P(x)
von erster Art über K, so ist auch der zugehörige Normalkörper N von
erster Art über K. d. h. es ist (in der Bezeichnung von 1) N = No. Die
Gruppe von N über K kann bekanntlich als transitive Permutations-
gruppe w-ten Grades der m-Nullstellen u1, ... ., am von P(x) d. h.
durch die sogenannte Galoisgruppe von P(x) über l< dargestellt werden.
Mit Hilfe bekannter Sätze der Galoisschen Theorie ergibt sich da-
her Satz la für Polynome P(x) von erster Art als unmittelbare Folge
des Satzes 3 und des Hilfssatzes. Ist dagegen P(x) von zweiter Art
und von Primzahlgrad über K, so muß es notwendig die Gestalt aoxv—ap
haben, wo p die Charakteristik von K bedeutet. In diesem Fall zerfällt
P(x) offenbar über jedem Oberkörper von K, über dem es reduzibel
wird, in lauter Linearfaktoren und Satz 1 a ist sicher richtig.
Mit Satz la ist zugleich der zweite Teil von Satz 1 allgemein be-
wiesen. Um den ersten Teil von Satz 1 zu bestätigen, nehmen wir zu-
nächst an, es sei das irreduzible Polynom P(x) von erster Art und m
sein Grad. Da P(x) über jeder Erweiterung von K, über der es reduzibel
wird, entweder genau einen oder lauter Linearfaktoren abspaltet, besitzt
jede von der identischen Permutation verschiedene intransitive Unter-
gruppe der Galoisgruppe @ von P(x) genau ein eingliedriges System
der Intransitivität. Jede von der identischen verschiedene Permutation
G aus ®, die kein m-gliedriger Zyklus ist, läßt daher genau eine Null-
stelle von P(x) fest. ® ist somit nach Satz 4 auflösbar und m-Prim-
zahl. Ist dagegen P(x) von zweiter Art, so muß der größte im zugehörigen
Normalkörper N über K enthaltene Körper erster Art No über K mit K
identisch sein, weil sonst P(x) über Nn in lauter Faktoren zerfällt, deren
Grad mindestens gleich der Charakteristik p von K, also größer als 1 ist.
P(x) ist daher gemäß unserer Definition algebraisch auflösbar und von
der Form axv — b. Dabei muß endlich noch / = 1 sein, weil P(x)
sonst über K 3 reduzibel würde, ohne einen Linearfaktor ab¬
zuspalten.
4. Beweis der Sätze 2 a und 2. Der Beweis des Satzes 2a stützt
sich auf folgende Tatsachen.1) Ist M der kleinste B enthaltende Normal-
körper über A, U die Hauptordnung2) von M und iß ein im Erweiterungs-
ideal U • p des Primideals p aufgehendes Primideal aus £>, so ordnet
man iß bekanntlich gewisse eindeutig bestimmte Unterkörper von
1) Vgl. F. K. SCHMIDT, Reziprozitätssätze für Primidealzerlegungen und ihre
Beziehung zu Arbeiten des Herrn 0. Ore.
2) Siehe Anm. 2 S. 4.