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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0008
Friedrich Karl Schmidt:
M, den Zerlegungskörper Z und den Trägheitskörper T zu. Bedeutet
dann P(x) ein über A irreduzibles Polynom, das ein primitives Element
von B zur Nullstelle besitzt, so läßt sich die Primidealzerlegung von
© • p in der Hauptordnung © von B aus der Zerlegung von P(x) über
Z und T ablesen. Ist nämlich P(x) = Qr(x) . . . Qg(x) über Z, so ent-
spricht jedem über Z irreduziblen Polynom Q^x) umkehrbar eindeutig
ein Primidealteiler von © -p derart, daß weiter gilt: Wenn über T
die Zerlegung Q^x) = F^xJ .... F^.fx) statt hat, wo die über T
irreduziblen Polynome Fil5 ...., F^ stets alle den gleichen Grad er-
haben, dann besitzt das Q^x) entsprechende Primideal den Relativ-
grad fi und geht genau zur e<-ten Potenz in © • p auf, d. h. es ist
© • p = ip/1 • ... • tygeg (fi = Relativgrad von ^).
Ist nun P(x) algebraisch auflösbar und von Primzahlgrad über A,
so besitzt P(x) über Z und T die durch Satz la angegebene Form der
Zerlegung, woraus nach dem vorstehenden unmittelbar Satz 2 a und
damit auch der zweite Teil von Satz 2 folgt.
Um den ersten Teil von Satz 2 zu bestätigen, bezeichnen wir wieder
mit P(x) ein über A irreduzibles Polynom, das ein primitives Element
von B zur Nullstelle hat. Ist dann G = Zx ■ Z2 .. . . • Zg eine Per-
mutation der Galoisgruppe @ von P(x) über A, wobei die Zi elemente-
fremde Zyklen der Gliederzahl fi bedeuten, so existieren nach einem
Satz von Frobenius1) unendlich viele Primideale p in o derart, daß in ©
die Zerlegung © • p = • sp2 = Relativgrad von
gilt. Spaltet also jedes in © zerfallende Ideal © ' p entweder genau
ein Primideal vom Relativgrad 1 oder lauter Primideale vom Relativ-
grad 1 ab, so besitzen die Permutationen der Galoisgruppe ® von P(x)
notwendig die in Satz 4 geforderte Eigenschaft, d. h. ® ist auflösbar
und von Primzahlgrad.
5. Folgerungen. Aus Satz 2a lassen sich ohne Schwierigkeit zahl-
reiche Folgerungen ziehen. Ich gehe noch kurz auf einige unter ihnen
ein, die sich auf die Diskriminante eines endlichen algebraischen Zahl-
körpers bzw. eines Polynoms beziehen.
Satz 5. Besitzt der endliche algebraische Zahlkörper B den Primzahl-
grad q > 5 über dem Unterkörper k und ist die Relativdiskriminante
J) G. FROBENIUS, Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines alge-
braischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe, Berl. Ber. 1896, S. 689
bis 703.
M, den Zerlegungskörper Z und den Trägheitskörper T zu. Bedeutet
dann P(x) ein über A irreduzibles Polynom, das ein primitives Element
von B zur Nullstelle besitzt, so läßt sich die Primidealzerlegung von
© • p in der Hauptordnung © von B aus der Zerlegung von P(x) über
Z und T ablesen. Ist nämlich P(x) = Qr(x) . . . Qg(x) über Z, so ent-
spricht jedem über Z irreduziblen Polynom Q^x) umkehrbar eindeutig
ein Primidealteiler von © -p derart, daß weiter gilt: Wenn über T
die Zerlegung Q^x) = F^xJ .... F^.fx) statt hat, wo die über T
irreduziblen Polynome Fil5 ...., F^ stets alle den gleichen Grad er-
haben, dann besitzt das Q^x) entsprechende Primideal den Relativ-
grad fi und geht genau zur e<-ten Potenz in © • p auf, d. h. es ist
© • p = ip/1 • ... • tygeg (fi = Relativgrad von ^).
Ist nun P(x) algebraisch auflösbar und von Primzahlgrad über A,
so besitzt P(x) über Z und T die durch Satz la angegebene Form der
Zerlegung, woraus nach dem vorstehenden unmittelbar Satz 2 a und
damit auch der zweite Teil von Satz 2 folgt.
Um den ersten Teil von Satz 2 zu bestätigen, bezeichnen wir wieder
mit P(x) ein über A irreduzibles Polynom, das ein primitives Element
von B zur Nullstelle hat. Ist dann G = Zx ■ Z2 .. . . • Zg eine Per-
mutation der Galoisgruppe @ von P(x) über A, wobei die Zi elemente-
fremde Zyklen der Gliederzahl fi bedeuten, so existieren nach einem
Satz von Frobenius1) unendlich viele Primideale p in o derart, daß in ©
die Zerlegung © • p = • sp2 = Relativgrad von
gilt. Spaltet also jedes in © zerfallende Ideal © ' p entweder genau
ein Primideal vom Relativgrad 1 oder lauter Primideale vom Relativ-
grad 1 ab, so besitzen die Permutationen der Galoisgruppe ® von P(x)
notwendig die in Satz 4 geforderte Eigenschaft, d. h. ® ist auflösbar
und von Primzahlgrad.
5. Folgerungen. Aus Satz 2a lassen sich ohne Schwierigkeit zahl-
reiche Folgerungen ziehen. Ich gehe noch kurz auf einige unter ihnen
ein, die sich auf die Diskriminante eines endlichen algebraischen Zahl-
körpers bzw. eines Polynoms beziehen.
Satz 5. Besitzt der endliche algebraische Zahlkörper B den Primzahl-
grad q > 5 über dem Unterkörper k und ist die Relativdiskriminante
J) G. FROBENIUS, Über Beziehungen zwischen den Primidealen eines alge-
braischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe, Berl. Ber. 1896, S. 689
bis 703.