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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0009
Zur Theorie der algebraisch auflösbaren Polynome usw.
9
2) von B bezüglich A in der Hauptordnung o von A genau durch
q—1 .
die d - te Potenz des Primideals p teilbar1), wo 0 < d < —— rst, so
ist B nicht algebraisch auflösbar über A.
Wenn das Primideal p die Relativdiskriminante SD teilt, muß das Er-
weiterungsideal © • p von p in der Hauptordnung © von B nach dem Dede-
kindschen Diskriminantensatz durch das Quadrat eines Primideals teil-
bar sein. Ist nun B algebraisch auflösbar über A, so ist also nach Satz 2a
entweder © • p = iß® oder © • p = ' .... • mit e > 1.
Da dabei die Primideale alle den gleichen Relativgrad f besitzen,
ist dann SD mindestens durch pd' teilbar, wo
, di = (e — 1; fg = (g — 1; — g—1
ist, d. h. weil e > 1, mindestens durch die
g—1
2
te Potenz von p
teilbar. Daraus fließt unmittelbar die Behauptung.
Will man Satz 5 auf Polynome anwenden und dabei die Diskrimi-
nante des Polynoms benutzen, so kann man ihm folgende, weniger weit-
reichende Fassung geben.
Satz 6. Ist P(x) — xq + . . + aq ein über dem end¬
lichen algebraischen Zahlkörper A irreduzibles Polynom vom Prim-
zahlgrad q 5 mit ganzen algebraischen Koeffizienten und ist die
Diskriminante Dp von P(x) in der Hauptordnung o von A genau
durch die dP-te Potenz des Primideals p teilbar1), wo dP ungerade
und 0 < dP < —-— ist, so ist P(x) über A nicht algebraisch auf-
lösbar.
Ist ft eine Nullstelle von P(x) und B = A (ft), so ist die Relativ-
diskriminante SD von B bezüglich A ein Teiler von Dp. Satz 6 ist da-
her auf den vorhergehenden zurückgeführt, sobald gezeigt ist, daß SD
durch p teilbar ist. Ist in o jedes Ideal Hauptideal, also SD = (D) und
Dp = e<PD, wo e, a, D Elemente aus o und e Einheit ist, so folgt dies
daraus, daß dP ungerade ist. Um es allgemein zu beweisen, bezeichnen
wir mit o^, den Quotientenring2) aller Zahlen aus A. deren Nenner zu p
B ® heißt genau durch die d-te Potenz von p teilbar, wenn ® durch p^ ,aber
nicht durch p'H1 teilbar ist.
2) Zur Theorie der hier verwendeten Quotientenringe vergl. H. GRELL,
Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Ann. 97 (1927)
S. 512 f. sowie H. GRELL, Zur Theorie der Ordnungen in algebraischen Zahl-
und Funktionenkörpern. Math. Ann. 97 (1927) S. 533.
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2) von B bezüglich A in der Hauptordnung o von A genau durch
q—1 .
die d - te Potenz des Primideals p teilbar1), wo 0 < d < —— rst, so
ist B nicht algebraisch auflösbar über A.
Wenn das Primideal p die Relativdiskriminante SD teilt, muß das Er-
weiterungsideal © • p von p in der Hauptordnung © von B nach dem Dede-
kindschen Diskriminantensatz durch das Quadrat eines Primideals teil-
bar sein. Ist nun B algebraisch auflösbar über A, so ist also nach Satz 2a
entweder © • p = iß® oder © • p = ' .... • mit e > 1.
Da dabei die Primideale alle den gleichen Relativgrad f besitzen,
ist dann SD mindestens durch pd' teilbar, wo
, di = (e — 1; fg = (g — 1; — g—1
ist, d. h. weil e > 1, mindestens durch die
g—1
2
te Potenz von p
teilbar. Daraus fließt unmittelbar die Behauptung.
Will man Satz 5 auf Polynome anwenden und dabei die Diskrimi-
nante des Polynoms benutzen, so kann man ihm folgende, weniger weit-
reichende Fassung geben.
Satz 6. Ist P(x) — xq + . . + aq ein über dem end¬
lichen algebraischen Zahlkörper A irreduzibles Polynom vom Prim-
zahlgrad q 5 mit ganzen algebraischen Koeffizienten und ist die
Diskriminante Dp von P(x) in der Hauptordnung o von A genau
durch die dP-te Potenz des Primideals p teilbar1), wo dP ungerade
und 0 < dP < —-— ist, so ist P(x) über A nicht algebraisch auf-
lösbar.
Ist ft eine Nullstelle von P(x) und B = A (ft), so ist die Relativ-
diskriminante SD von B bezüglich A ein Teiler von Dp. Satz 6 ist da-
her auf den vorhergehenden zurückgeführt, sobald gezeigt ist, daß SD
durch p teilbar ist. Ist in o jedes Ideal Hauptideal, also SD = (D) und
Dp = e<PD, wo e, a, D Elemente aus o und e Einheit ist, so folgt dies
daraus, daß dP ungerade ist. Um es allgemein zu beweisen, bezeichnen
wir mit o^, den Quotientenring2) aller Zahlen aus A. deren Nenner zu p
B ® heißt genau durch die d-te Potenz von p teilbar, wenn ® durch p^ ,aber
nicht durch p'H1 teilbar ist.
2) Zur Theorie der hier verwendeten Quotientenringe vergl. H. GRELL,
Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Ann. 97 (1927)
S. 512 f. sowie H. GRELL, Zur Theorie der Ordnungen in algebraischen Zahl-
und Funktionenkörpern. Math. Ann. 97 (1927) S. 533.