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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0014
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Wolfgang Krull:
Es handelt sich jetzt noch darum, — und das ist der schwierige Punkt.
— zu zeigen, daß aus der Gültigkeit des Doppelkettensatzes die Dar-
stellbarkeit jedes Ideals durch endlich viel Primärkomponenten folgt.
Wir definieren zu diesem Zweck in üblicher Weise:
Ein Primidealteiler p von ct heißt höchstes Primideal von a,
wenn es kein echtes Primidealvielfaches von p gibt, das gleich-
falls a teilt.
Dann gilt: Ein bei. Ideal a besitzt mindestens ein höchstes
Primideal p. Bedeutet $ das m. a. System aller durch p un-
teilbaren Elemente (also das System So, falls p = fR), so ist
ein zu p gehöriges Primärideal, „die zu p gehörige isolierte
Primärkomponente“ von a.1)
Es sei jetzt ci= a0 ein bestimmtes Ideal, das in Primärkomponenten
zerlegt werden soll, px sei ein festes höchstes Primideal von a, qx sei
die zugehörige isolierte Primärkomponente. Ist a = qx, so sind wir
bereits am Ziel. Ist aber qx ein echter Teiler von ci, so sei s ein nach dem
Quotientenkettensatz für i. K. I. sicher vorhandenes, durch p unteil-
bares Element, das der Gleichung a : (s) = qx genügt, bx sei der gr. g. T.
von (s)2 und a. Dann ist a : bx = a : (s)2 = qx : (s) = qx; qx : (bx) -
qx ; (s)2 = qT und daraus folgt nach N. § 6 die Durchschnittsdarstellung
n —
Wir bestimmen nun — und das ist der Kern des Beweises — auf Grund
einer Wohlordnung von 9t das Ideal ax so, daß ax Teiler von bx ist und
der Durchschnittsgleichung ct = qi^ax genügt, daß aber für jeden echten
Teiler a/ von ax stets qx^axy einen echten Teiler von a darstellt.
(Die Existenz eines cix der gewünschten Art kann mit Hilfe der trans-
finiten Induktion nach üblichem Schema mühelos bewiesen werden.)2)
Auf iix wird jetzt dieselbe Schluß weise angewandt wie eben auf a.
Wir verstehen unter p2 ein höchstes Primideal von ax, unter q2 die zu-
gehörige isolierte Primärkomponente und — für ax 4 q2 — unter ci2 ein
durch p2 unteilbares Ideal, das der Durchschnittsgleichung ax = q2r>n?
genügt und hinsichtlich cix dieselbe Maximaleigenschaft hat, wie sie
öx hinsichtlich a besaß.
Für ct ergibt sich so. (falls q2 4 ctx) eine neue Darstellung ct = qx^q2oii2.
Indem wir a2 in der gleichen Weise aufspalten wie vorher ct und ctx usw.
finden wir für ci eine Kette von Durchschnittsgleichungen
ct = uo — qx<mx = qi<->q2r>(i2 =. Qir>Q2r'..
1) Vgl.K. §2!
2) Vgl. z. B. den ausgeführten Induktionsbeweis in K. § 2. Der Übergang
von bj zu cij stellt den Kern unseres Beweises dar!
Wolfgang Krull:
Es handelt sich jetzt noch darum, — und das ist der schwierige Punkt.
— zu zeigen, daß aus der Gültigkeit des Doppelkettensatzes die Dar-
stellbarkeit jedes Ideals durch endlich viel Primärkomponenten folgt.
Wir definieren zu diesem Zweck in üblicher Weise:
Ein Primidealteiler p von ct heißt höchstes Primideal von a,
wenn es kein echtes Primidealvielfaches von p gibt, das gleich-
falls a teilt.
Dann gilt: Ein bei. Ideal a besitzt mindestens ein höchstes
Primideal p. Bedeutet $ das m. a. System aller durch p un-
teilbaren Elemente (also das System So, falls p = fR), so ist
ein zu p gehöriges Primärideal, „die zu p gehörige isolierte
Primärkomponente“ von a.1)
Es sei jetzt ci= a0 ein bestimmtes Ideal, das in Primärkomponenten
zerlegt werden soll, px sei ein festes höchstes Primideal von a, qx sei
die zugehörige isolierte Primärkomponente. Ist a = qx, so sind wir
bereits am Ziel. Ist aber qx ein echter Teiler von ci, so sei s ein nach dem
Quotientenkettensatz für i. K. I. sicher vorhandenes, durch p unteil-
bares Element, das der Gleichung a : (s) = qx genügt, bx sei der gr. g. T.
von (s)2 und a. Dann ist a : bx = a : (s)2 = qx : (s) = qx; qx : (bx) -
qx ; (s)2 = qT und daraus folgt nach N. § 6 die Durchschnittsdarstellung
n —
Wir bestimmen nun — und das ist der Kern des Beweises — auf Grund
einer Wohlordnung von 9t das Ideal ax so, daß ax Teiler von bx ist und
der Durchschnittsgleichung ct = qi^ax genügt, daß aber für jeden echten
Teiler a/ von ax stets qx^axy einen echten Teiler von a darstellt.
(Die Existenz eines cix der gewünschten Art kann mit Hilfe der trans-
finiten Induktion nach üblichem Schema mühelos bewiesen werden.)2)
Auf iix wird jetzt dieselbe Schluß weise angewandt wie eben auf a.
Wir verstehen unter p2 ein höchstes Primideal von ax, unter q2 die zu-
gehörige isolierte Primärkomponente und — für ax 4 q2 — unter ci2 ein
durch p2 unteilbares Ideal, das der Durchschnittsgleichung ax = q2r>n?
genügt und hinsichtlich cix dieselbe Maximaleigenschaft hat, wie sie
öx hinsichtlich a besaß.
Für ct ergibt sich so. (falls q2 4 ctx) eine neue Darstellung ct = qx^q2oii2.
Indem wir a2 in der gleichen Weise aufspalten wie vorher ct und ctx usw.
finden wir für ci eine Kette von Durchschnittsgleichungen
ct = uo — qx<mx = qi<->q2r>(i2 =. Qir>Q2r'..
1) Vgl.K. §2!
2) Vgl. z. B. den ausgeführten Induktionsbeweis in K. § 2. Der Übergang
von bj zu cij stellt den Kern unseres Beweises dar!