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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0015
Über einen Hauptsatz cler allgemeinen Idealtheorie.
15
Die Kette bricht dann und nur dann im Endlichen ab, wenn einmal
q mit seiner isolierten Primärkomponente zusammenfällt.
Dann aber ist a=qir^q2^ ~qn*+1 Durchschnitt von endlich vielen
Primäridealen. Wir haben also nur noch das Abbrechen der Kette (1)
zu beweisen, und dieser Beweis wird angesichts der Gültigkeit des Viel-
fachenkettensatzes für i. K. I. geführt sein, wenn wir zeigen können,
daß in der Kette
ix — Qi? Q = Qi,"'Q2> .’ hi = .^n->. (^)
sämtliche Glieder i. K. I. von a sind, und daß dabei + i stets ein
echtes Vielfaches von in darstellt. Die Richtigkeit dieser letzteren Tat-
sache ergibt sich so:
a) Wäre in (2) einmal + i = in, so wäre a = qXr> q2r> ^q„^an
— UfiAi+b unc^ das führte zu einem Widerspruch
gegen die Maximaleigenschaft der Ideale cij, a2, an, da ja
an 1 ] echter Teiler von an ist.
b) Von den Primidealen px, p2, , pn, die zu den Primäridealen
qx, q2, , qn gehören, ist nach Konstruktion kein einziges Teiler
von an. Es enthält daher, wie unschwer einzusehen, an mindestens
ein durch kein pi (i = 1, 2 n) teilbares Element. Verstehen
wir nun unter Sn das m. a. System aller durch px, p2, , p;)
unteilbaren Ringelemente, so folgt daraus in =(!§,, sofern man
nur die Gleichung ci = in^an und die Tatsache beachtet, daß as
sicher ein Vielfaches von in sein muß.
Durch a und b ist bewiesen, daß die Kette (2) eine Vielfachenkette
von i. K. I. ist, bei der keine zwei Glieder gleich sein können. Daraus
folgt das Abbrechen der Ketten (2) und (1) und damit die Darstellbar-
keit von a durch endlich viel Primärkomponenten bei Gültigkeit des
Doppelkettensatzes. Der Beweis unseres Hauptsatzes ist in vollem
Umfang geführt.
Ist eine Potenz des zu dem Primärideal q gehörigen Primideals p
durch q teilbar, so soll q wie üblich als Primärideal von endlichem
Exponenten bezeichnet und es soll als Exponent von q der Exponent
der niedrigsten durch q teilbaren Potenz von p definiert werden.1)
Wir können dann die bisher gewonnenen Ergebnisse noch durch
folgenden Zusatz verschärfen:
In fR läßt sich dann und nur dann jedes Ideal als Durch-
schnitt von endlich viel Primäridealen von endlichem Ex-
ponenten darstellen, wenn in 91 der allgemeine Quotienten-
kettensatz und der Vielfachenkettensatz für i. K. I. gilt.
x) Über die verschiedenen Typen von Primäridealen vgl. z. B.: N. §5!
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Die Kette bricht dann und nur dann im Endlichen ab, wenn einmal
q mit seiner isolierten Primärkomponente zusammenfällt.
Dann aber ist a=qir^q2^ ~qn*+1 Durchschnitt von endlich vielen
Primäridealen. Wir haben also nur noch das Abbrechen der Kette (1)
zu beweisen, und dieser Beweis wird angesichts der Gültigkeit des Viel-
fachenkettensatzes für i. K. I. geführt sein, wenn wir zeigen können,
daß in der Kette
ix — Qi? Q = Qi,"'Q2> .’ hi = .^n->. (^)
sämtliche Glieder i. K. I. von a sind, und daß dabei + i stets ein
echtes Vielfaches von in darstellt. Die Richtigkeit dieser letzteren Tat-
sache ergibt sich so:
a) Wäre in (2) einmal + i = in, so wäre a = qXr> q2r> ^q„^an
— UfiAi+b unc^ das führte zu einem Widerspruch
gegen die Maximaleigenschaft der Ideale cij, a2, an, da ja
an 1 ] echter Teiler von an ist.
b) Von den Primidealen px, p2, , pn, die zu den Primäridealen
qx, q2, , qn gehören, ist nach Konstruktion kein einziges Teiler
von an. Es enthält daher, wie unschwer einzusehen, an mindestens
ein durch kein pi (i = 1, 2 n) teilbares Element. Verstehen
wir nun unter Sn das m. a. System aller durch px, p2, , p;)
unteilbaren Ringelemente, so folgt daraus in =(!§,, sofern man
nur die Gleichung ci = in^an und die Tatsache beachtet, daß as
sicher ein Vielfaches von in sein muß.
Durch a und b ist bewiesen, daß die Kette (2) eine Vielfachenkette
von i. K. I. ist, bei der keine zwei Glieder gleich sein können. Daraus
folgt das Abbrechen der Ketten (2) und (1) und damit die Darstellbar-
keit von a durch endlich viel Primärkomponenten bei Gültigkeit des
Doppelkettensatzes. Der Beweis unseres Hauptsatzes ist in vollem
Umfang geführt.
Ist eine Potenz des zu dem Primärideal q gehörigen Primideals p
durch q teilbar, so soll q wie üblich als Primärideal von endlichem
Exponenten bezeichnet und es soll als Exponent von q der Exponent
der niedrigsten durch q teilbaren Potenz von p definiert werden.1)
Wir können dann die bisher gewonnenen Ergebnisse noch durch
folgenden Zusatz verschärfen:
In fR läßt sich dann und nur dann jedes Ideal als Durch-
schnitt von endlich viel Primäridealen von endlichem Ex-
ponenten darstellen, wenn in 91 der allgemeine Quotienten-
kettensatz und der Vielfachenkettensatz für i. K. I. gilt.
x) Über die verschiedenen Typen von Primäridealen vgl. z. B.: N. §5!