Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

über die GßEENsche Funktion des ÜAPLAßEschen Differentialausdruckes. 5

leicht explizit angeben. Geht man nämlich zu Polarkoordinaten
x — g cos co, y — @ sin co
über, so muß J die für g = B verschwindende, innerhalb des Kreises
endliche Lösung der Gleichung
a2+ , 1 , 1 a2+_ _o
d g2 1 o dg 1 g2 dco2
sein. Weil J sich bei Drehungen um den Mittelpunkt des Kreises
nicht ändern darf, also von co unabhängig sein muß, hat man zur Be-
stimmung von J die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
d2J , 1 dj
——ö } — — 4 71
dg* g dg
mit dem allgemeinen Integral
Jr(e) = -^ + C1ige+c2.
Da J für o = 0 endlich bleiben und für g = B verschwinden soll, muß
^1 = 0, c2 = ^-b2
sein; mithin kommt
(4) J= (B2 - g2) = ~ - x2 - y2').
Für den Kreisring
H12^x2 + y2£B22 (^>0)
erhalten wir J(x, y), wenn wir und C2 so bestimmen, daß

J(P1) = - ^ ^ + C, lg^ + C2 = 0,

J (^2) ~ 2” lg -^2 + ^2— 1

es ergibt sich


B22 - B2
Ig2?2-lg2?i

lgO2+?/2)

, B22^B1-B121SB2]
lg^a-lgBJ J*

8. Aber es werden nur wenige Bereiche sein, für die man die
Funktion J (x,y) explizit angeben kann. Im allgemeinen wird man
sich damit begnügen müssen, eine Abschätzung für J(x,y) zu finden.
Da leistet zunächst der folgende Hilfssatz gute Dienste:
Es sei ® = 25 + 3i ein beliebiger ein- oder mehrfach zusammen-
hängender Bereich, ®* — 25* + 3f* ein zweiter ein- oder mehrfach