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https://doi.org/10.11588/diglit.43579#0007
Über die ÖREENsche Funktion des LAPLACEschen Differentialausdruckes. 7
Diese Abschätzung wird namentlich bei schmalen, langgestreckten
Bereichen recht ungünstig sein. Wir nehmen deshalb statt des kleinsten
Kreises, in den man ® einbetten kann, den kleinsten einfach zusammen-
hängenden, von einer Jordankurve begrenzten Bereich ®*, in dem S
enthalten ist. Dann gilt, wie in § 3 bewiesen werden soll, folgender
Satz:
J(x,y) ist höchstens gleich dem halben inneren Flächeninhalt des
kleinsten einfach zusammenhängenden, von einer Jordankurve be-
grenzten Bereiches, in den ® eingebettet werden kann.
§ 3. Abschätzung von J(^,rf) für einen einfach zusammen-
hängenden Bereich.
1. Wir setzen 33 einfach zusammenhängend, den Band 31 als Jordan-
kurve voraus; 53 braucht nicht beschränkt zu sein, soll aber einen end-
lichen inneren Inhalt haben. Nach dem Riemann sehen Abbildungssatz1)
gibt es eine in 53 analytische, in 53 + 31 stetige Funktion w— f ff) der
komplexen Variablen z = x-\-iy, welche 33 umkehrbar eindeutig und
konform so auf den Einheitskreis in der Ebene einer komplexen Variablen
w = u + w ab bildet, daß der Rand 3i in die Kreisperipherie | w| = 1 und
außerdem ein beliebiger Punkt £ = £ + +/ aus 33 in den Punkt w—Q
übergeht. Die Green sehe Funktion läßt sich mittels der Abbildungs-
funktion f(z) folgendermaßen ausdrücken:
G-(x,y; = -ig I
Für den Inhalt F des Bereiches 33 einerseits und für die Funktion
J($, rf) andererseits ergeben sich die Darstellungen
(9) F= [f dxdy, J(£,vf) = - JJlg | ff» | dxdy,
s ©
unsere Aufgabe ist, beide Integrale in eine Form zu bringen, die einen
Vergleich ermöglicht. Hierzu verwenden wir die Umkehrungsfunktion
£ = <p(w) der Funktion w = f(z). Sie läßt sich für | w | < 1 als kon-
vergente Potenzreihe
Oft QO
<p(w)=X (u, v) + iy (u, v) = 2 + wV = 2 (+ + i ßv)
r = 0 v=0
schreiben, wobei nach den Cauchy-Riemann sehen Differentialgleichungen
y u y v
b Vgl. etwa L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II. Leipzig
und Berlin (B. G. Teubner) 1927. Erster Abschnitt.
Diese Abschätzung wird namentlich bei schmalen, langgestreckten
Bereichen recht ungünstig sein. Wir nehmen deshalb statt des kleinsten
Kreises, in den man ® einbetten kann, den kleinsten einfach zusammen-
hängenden, von einer Jordankurve begrenzten Bereich ®*, in dem S
enthalten ist. Dann gilt, wie in § 3 bewiesen werden soll, folgender
Satz:
J(x,y) ist höchstens gleich dem halben inneren Flächeninhalt des
kleinsten einfach zusammenhängenden, von einer Jordankurve be-
grenzten Bereiches, in den ® eingebettet werden kann.
§ 3. Abschätzung von J(^,rf) für einen einfach zusammen-
hängenden Bereich.
1. Wir setzen 33 einfach zusammenhängend, den Band 31 als Jordan-
kurve voraus; 53 braucht nicht beschränkt zu sein, soll aber einen end-
lichen inneren Inhalt haben. Nach dem Riemann sehen Abbildungssatz1)
gibt es eine in 53 analytische, in 53 + 31 stetige Funktion w— f ff) der
komplexen Variablen z = x-\-iy, welche 33 umkehrbar eindeutig und
konform so auf den Einheitskreis in der Ebene einer komplexen Variablen
w = u + w ab bildet, daß der Rand 3i in die Kreisperipherie | w| = 1 und
außerdem ein beliebiger Punkt £ = £ + +/ aus 33 in den Punkt w—Q
übergeht. Die Green sehe Funktion läßt sich mittels der Abbildungs-
funktion f(z) folgendermaßen ausdrücken:
G-(x,y; = -ig I
Für den Inhalt F des Bereiches 33 einerseits und für die Funktion
J($, rf) andererseits ergeben sich die Darstellungen
(9) F= [f dxdy, J(£,vf) = - JJlg | ff» | dxdy,
s ©
unsere Aufgabe ist, beide Integrale in eine Form zu bringen, die einen
Vergleich ermöglicht. Hierzu verwenden wir die Umkehrungsfunktion
£ = <p(w) der Funktion w = f(z). Sie läßt sich für | w | < 1 als kon-
vergente Potenzreihe
Oft QO
<p(w)=X (u, v) + iy (u, v) = 2 + wV = 2 (+ + i ßv)
r = 0 v=0
schreiben, wobei nach den Cauchy-Riemann sehen Differentialgleichungen
y u y v
b Vgl. etwa L. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. II. Leipzig
und Berlin (B. G. Teubner) 1927. Erster Abschnitt.