Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die GREENSche Funktion des LAPEACESchen Differentialausdruckes. 15

Genügen die Funktionen zx(x,y) und (x, y) derselben Randbedingung
und ist
zl (x, y) = fx (x, y), zl z2 (x, y) = f2 (x, y\
wobei in 33
!fi(^ y)
so ergeben sich die Abschätzungen

(£*7) - Ifi y) - ü (%> y)\\G(^>y^>y)\ dx dy


83
J(£ */),

d % (£, y} d z2 (£, y)
dl;

71

d y d y

— f (x,y,^,y)\dxdy
33

Die erste Abschätzung hat C. Runge1) benutzt., um den Grad der
Annäherung bei seiner numerischen Integration der Differentialgleichung
Zl w = const. zu beurteilen. Als obere Schranke für J\ (£, y) nahm er
dabei den halben Inhalt des kleinsten, das Integrationsgebiet um-
schließenden Kreises (vgl. § 2, 4); nimmt man als obere Schranke den
halben Flächeninhalt des Integrationsbereiches selbst, so kann man für
die von Runge angegebenen numerischen Werte eine größere Genauigkeit
garantieren.
Alle drei Abschätzungen spielen eine Rolle bei dem zuerst von
Herrn E. Picard 2) angegebenen, von Herrn L. Lichtenstein 3) in seinen
Einzelheiten genauer untersuchten Beweis für die Existenz der Lösung

0 C. Runge, Über eine Methode, die partielle Differentialgleichung zIm -
Constans numerisch zu integrieren. Zeitschr. f. Math. u. Phys. 56, 1908, S. 225—
232, bes. S. 230 ff.
2) E. Picard, Memoire sur la theorie des equations aux derivees partielles
et la methode des approximations successives. Journal de mathematiques pures
et appliquees (4) 6, 1890, S. 145—210, bes. S. 150—165.
3) L. Lichtenstein, Zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen
und der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Rendiconti del
Circolo matematico di Palermo 28, 1909, S. 267—306, bes. S. 291—301.