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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0004
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Boris Kaufmann :
schiedener Tragweite und Tiefe sein können. Es kommt natürlich
immer darauf an, wie weitgehend die Voraussetzungen sind, welchen
eine gegebene Abbildung genügt. Je einschneidender die gemachte
Voraussetzung, desto schwächer das Resultat.
Die vorliegende Abhandlung bringt die ersten, einfachen In-
varianzbedingungen und bildet eine Vorstufe zu weiteren Unter-
suchungen, deren Hauptresultate wir ebenfalls erwähnen.
Im § 1 wird die Invarianz der Primenden auf die unsere Vor-
stellung vereinfachende Zuordnung der gegen die Primenden konver-
gierenden Kurven zurückgeführt. Im § 2 wird eine notwendige
und hinreichende Invarianzbedingung allein auf Grund der Zu-
ordnung der gegen die Primenden konvergierenden Wege (Ein-
schnitte) abgeleitet. In diesem Satz kommt bereits die besondere
Rolle der erreichbaren Punkte bei der Abbildung zum Ausdruck.
§ 3 enthält eine vorläufige Mitteilung über weitere tiefergehende
Resultate. In der Voraussetzung, welcher die in § 2 betrachtete
Abbildung Ab genügt, ist immer noch das Primende selbst verwendet
worden. Es zeigt sich aber, daß die Invarianz der Primenden auch
dann bestehen bleibt, wenn man von den erreichbaren Stellen für
sich ausgeht, ohne von den Primenden selbst Gebrauch zu machen.
Eine besondere Bedeutung gewinnen dabei solche Gebiete in der
Ebene und im Raume, deren Randelemente höchstens einen er-
reichbaren Punkt enthalten. In diesem Fall, wie wir in § 3 zeigen,
läßt sich der dort erwähnte Abbildungssatz auf den Invarianz-
satz II (§ 2) zurückführen.
§ 1. Der erste Invarianzsatz.
1. Kurven und Punktfolgen am Bande. Die denkbar einfachste
und naheliegendste, allerdings nicht in die Tiefe gehende Bedingung
der Primendeninvarianz erhalten wir durch Zuordnung der gegen
den Rand bzw. die Randelemente konvergierenden Kurven. Unter
einer Kurve C, welche gegen den Rand T eines Gebietes ® kon-
vergiert, verstehen wir das ganz innerhalb ® liegende topologische
Bild eines in der Richtung eines Endpunktes xx offenen Intervalls
xx < x x2,
dessen abgeschlossene Hülle C° außer C nur Punkte des Randes
enthält. Nach dieser Definition enthält die Bildpunktfolge einer
jeden gegen xx konvergierenden Punktfolge des Intervalls eine
gegen einen Randpunkt von ® konvergierende Teilfolge.
Boris Kaufmann :
schiedener Tragweite und Tiefe sein können. Es kommt natürlich
immer darauf an, wie weitgehend die Voraussetzungen sind, welchen
eine gegebene Abbildung genügt. Je einschneidender die gemachte
Voraussetzung, desto schwächer das Resultat.
Die vorliegende Abhandlung bringt die ersten, einfachen In-
varianzbedingungen und bildet eine Vorstufe zu weiteren Unter-
suchungen, deren Hauptresultate wir ebenfalls erwähnen.
Im § 1 wird die Invarianz der Primenden auf die unsere Vor-
stellung vereinfachende Zuordnung der gegen die Primenden konver-
gierenden Kurven zurückgeführt. Im § 2 wird eine notwendige
und hinreichende Invarianzbedingung allein auf Grund der Zu-
ordnung der gegen die Primenden konvergierenden Wege (Ein-
schnitte) abgeleitet. In diesem Satz kommt bereits die besondere
Rolle der erreichbaren Punkte bei der Abbildung zum Ausdruck.
§ 3 enthält eine vorläufige Mitteilung über weitere tiefergehende
Resultate. In der Voraussetzung, welcher die in § 2 betrachtete
Abbildung Ab genügt, ist immer noch das Primende selbst verwendet
worden. Es zeigt sich aber, daß die Invarianz der Primenden auch
dann bestehen bleibt, wenn man von den erreichbaren Stellen für
sich ausgeht, ohne von den Primenden selbst Gebrauch zu machen.
Eine besondere Bedeutung gewinnen dabei solche Gebiete in der
Ebene und im Raume, deren Randelemente höchstens einen er-
reichbaren Punkt enthalten. In diesem Fall, wie wir in § 3 zeigen,
läßt sich der dort erwähnte Abbildungssatz auf den Invarianz-
satz II (§ 2) zurückführen.
§ 1. Der erste Invarianzsatz.
1. Kurven und Punktfolgen am Bande. Die denkbar einfachste
und naheliegendste, allerdings nicht in die Tiefe gehende Bedingung
der Primendeninvarianz erhalten wir durch Zuordnung der gegen
den Rand bzw. die Randelemente konvergierenden Kurven. Unter
einer Kurve C, welche gegen den Rand T eines Gebietes ® kon-
vergiert, verstehen wir das ganz innerhalb ® liegende topologische
Bild eines in der Richtung eines Endpunktes xx offenen Intervalls
xx < x x2,
dessen abgeschlossene Hülle C° außer C nur Punkte des Randes
enthält. Nach dieser Definition enthält die Bildpunktfolge einer
jeden gegen xx konvergierenden Punktfolge des Intervalls eine
gegen einen Randpunkt von ® konvergierende Teilfolge.