Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Boris Kaufmann:

gegen verschiedene Primenden Eg und Eg des Gebietes & konver-
gieren. Die Unmöglichkeit dieser Behauptung läßt sich durch
einen dem Obigen ganz ähnlichen inversen Schluß beweisen. Nach
(2) läßt sich eine gegen das Primende Eg konvergierende Kurve C
angeben, deren Urbildkurve, in Widerspruch zu der in bezug auf
Ap1 gemachten Voraussetzung, nicht gegen ein Primende von ®
konvergiert. — (Eine ganz entsprechende Betrachtung erhalten
wir auch dann, wenn wir vom Bildbereich statt von &, aus-
gehen.) Aus den hier klar hervortretenden Widersprüchen ergibt
sich sofort unser Satz1).
§ 2. Der zweite Invarianzsatz.
3. Die verschärfte Bedingung. Im Nachfolgenden wollen wir
eine wesentlich schärfere Invarianzbedingung ableiten. Wir werden
uns überzeugen, daß man bereits mit Voraussetzungen über die
gegen die Primenden konvergierenden Einschnitte auskommen kann.
Die Verschärfung besteht nicht nur allein in der Beschränkung
auf einen Teil der gegen ein Primende konvergierenden Kurven,
sondern, was wesentlicher ist, darin, daß die gemachten Voraus-
setzungen nur die erreichbaren Primendenpunkte treffen2). Die
x) Für den Spezialfall einfach zusammenhängender ebener Gebiete wurde
eine schärfere Invarianzbedingung (die Bedingung der „gleichmäßigen Bogen-
stetigkeit“) von Herrn H. Wolkenstörfer gegeben („Probleme der Erweiterung
von topologischen Abbildungen ebener Punktmengen“ [Inaugural-Dissertation,
München 1929]; es kommen hier insbesondere Kap. II und III dieser Arbeit
in Betracht). Es sei hier erwähnt, daß unter Benutzung der unbewallten f-Ge-
samtheiten diese Bedingung sich folgendermaßen aussprechen läßt: Liegt auf
zwei Kurven Cx und C2 eines einfach zusammenhängenden ebenen Bereiches
je eine Punktfolge einer und derselben unbewallten f-Gesamheit (vom a- oder
ß-Typus), so liegt auf den durch die Abbildung A gegebenen Bildkurven Cj
und C2 von Cx und C2 ebenfalls je eine Punktfolge einer und derselben unbewallten
f-Gesamtheit und umgekehrt.
Für den Beweis dieses Satzes ist der folgende Sachverhalt wesentlich:
Zwei Kurven Cx und C2 eines einfach zusammenhängenden ebenen Gebietes,
auf welchem zwei Punktfolgen (je eine auf jeder Kurve) liegen, die gegen ein
und dasselbe Primende konvergieren, enthalten auch immer zwei Punktfolgen
einer und derselben unbewallten f-Gesamtheit (vom a- oder ß-Typus). Dieser
Sachverhalt ergibt sich sofort daraus, daß im betrachteten Spezialfall die Prim-
enden durch Ketten von Querschnitten, welche gegen einen einzigen Randpunkt
konvergieren, bestimmt werden können.
2) Man ziehe hier insbesondere in Betracht, daß in den allgemeinsten Fällen
die Primenden (von solchen erster Art abgesehen) im Raume zwei- und in der