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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0009
Über clie Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw.
9
Voraussetzung der nachfolgenden Invarianzbedingung trifft solche
Primenden, welche keine erreichbaren Punkte enthalten, überhaupt
nicht! Die Abbildung der letzteren hängt somit ganz von der Ab-
bildung der ersteren ab.
Wir beweisen zunächst die beiden nachfolgenden Hilfssätze,
welche, ihrem Sinn nach, in die allgemeine Primendentheorie gehören.
4. Ein Satz über die Gebietsketten. Hilfssatz 1. Es sei Eg ein
beliebiges Primende des Gebietes ©. > ©2 > . . . > > . . .
sei eine das Primende bestimmende Gebietskette und Q1; Q2, ... Qv, .. .
die entsprechende Querschnittskette. Wir behaupten, der Durchschnitt
eines jeden Querschnittes Qv der Kette mit fast allen Querschnitten
derselben ist immer leer* 1}.
Angenommen, unsere Behauptung gilt nicht. Es existiert
dann für ein bestimmtes v = 2 ein Querschnitt Qx und eine Teil-
kette Qx, Q2, . . . Q', ... der Ivette (Qr) mit der Eigenschaft,
daß für jedes v = 1, 2, ...
Qa ' Qr 0
gilt. Wir können deshalb eine in der Ivette (Q') gegen ihr Grenz-
gebilde und einen Randpunkt £ konvergierende a- oder /3-Punktfolge
Rx, R2, . . . R„, . . . = (RJ bestimmen, welche ganz auf dem Quer-
schnitt Qz liegt. Für jedes v sei II (R„) eine ganz in @ liegende
Umgebung des Punktes Rr, mit der Eigenschaft, daß in IX (R„)
keine von Rr verschiedenen Punkte der Folge (R„) enthalten sind.
Eine so definierte Folge von Umgebungen [11 (R„)] konvergiert
offenbar gegen den Punkt %. Wir bezeichnen jetzt das durch Q;_
bestimmte Teilgebiet der Kette (®r) mit sei das zu ihm
komplementäre Teilgebiet relativ zu Jetzt bemerken wir, daß
die beiden Beziehungen
IX (RQ • 4= o
für festes 2 und jedes v = 1, 2, ... bzw.
IX (R„.) • < + o
Ebene eindimensionale Kontinua sind, während die (abgeschlossene) Gesamtheit
ihrer erreichbaren Stellen in den meisten Fällen echte Teilmengen von niedrigerer
Dimension ausmachen.
1) Zum Unterschied von dem geläufigen Sonderfall der Querschnittsketten
einfach zusammenhängender ebener Bereiche muß im allgemeinen Fall dieser
Hilfssatz besonders bewiesen werden, da die allgemeine Definition der Enden
nicht ausschließt, daß der Durchschnitt unendlich vieler, ein Ende bestimmender
Querschnitte nicht leer ist.
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Voraussetzung der nachfolgenden Invarianzbedingung trifft solche
Primenden, welche keine erreichbaren Punkte enthalten, überhaupt
nicht! Die Abbildung der letzteren hängt somit ganz von der Ab-
bildung der ersteren ab.
Wir beweisen zunächst die beiden nachfolgenden Hilfssätze,
welche, ihrem Sinn nach, in die allgemeine Primendentheorie gehören.
4. Ein Satz über die Gebietsketten. Hilfssatz 1. Es sei Eg ein
beliebiges Primende des Gebietes ©. > ©2 > . . . > > . . .
sei eine das Primende bestimmende Gebietskette und Q1; Q2, ... Qv, .. .
die entsprechende Querschnittskette. Wir behaupten, der Durchschnitt
eines jeden Querschnittes Qv der Kette mit fast allen Querschnitten
derselben ist immer leer* 1}.
Angenommen, unsere Behauptung gilt nicht. Es existiert
dann für ein bestimmtes v = 2 ein Querschnitt Qx und eine Teil-
kette Qx, Q2, . . . Q', ... der Ivette (Qr) mit der Eigenschaft,
daß für jedes v = 1, 2, ...
Qa ' Qr 0
gilt. Wir können deshalb eine in der Ivette (Q') gegen ihr Grenz-
gebilde und einen Randpunkt £ konvergierende a- oder /3-Punktfolge
Rx, R2, . . . R„, . . . = (RJ bestimmen, welche ganz auf dem Quer-
schnitt Qz liegt. Für jedes v sei II (R„) eine ganz in @ liegende
Umgebung des Punktes Rr, mit der Eigenschaft, daß in IX (R„)
keine von Rr verschiedenen Punkte der Folge (R„) enthalten sind.
Eine so definierte Folge von Umgebungen [11 (R„)] konvergiert
offenbar gegen den Punkt %. Wir bezeichnen jetzt das durch Q;_
bestimmte Teilgebiet der Kette (®r) mit sei das zu ihm
komplementäre Teilgebiet relativ zu Jetzt bemerken wir, daß
die beiden Beziehungen
IX (RQ • 4= o
für festes 2 und jedes v = 1, 2, ... bzw.
IX (R„.) • < + o
Ebene eindimensionale Kontinua sind, während die (abgeschlossene) Gesamtheit
ihrer erreichbaren Stellen in den meisten Fällen echte Teilmengen von niedrigerer
Dimension ausmachen.
1) Zum Unterschied von dem geläufigen Sonderfall der Querschnittsketten
einfach zusammenhängender ebener Bereiche muß im allgemeinen Fall dieser
Hilfssatz besonders bewiesen werden, da die allgemeine Definition der Enden
nicht ausschließt, daß der Durchschnitt unendlich vieler, ein Ende bestimmender
Querschnitte nicht leer ist.