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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0012
12
Boris Kaufmann :
zum Satz VIII). Wir durchlaufen die Kurve C für jedes n vom
Punkt Oq* ab in der Richtung nach dem Gebietsrand T bis zum
ersten Schnittpunkt mit dem das Gebiet bestimmenden Quer-
schnitt Qv0. Den durchlaufenen Teil der Kurve C bezeichnen wir
für jedes n mit c£°. Wir betrachten jetzt die Folge der Wege
p/o — pU) U'0 p”o
deren Grenzgebilde Tcv0 sei. Da nun eine jede in Cr° gegen Tcr0
konvergierende Punktfolge auf C aber außerhalb Qh0 liegt, so können
wir sofort folgern, daß in dem Wegsystem1) Cr° keine a-Punktfolgen
konvergieren können, was aber besagt, daß C’'0 ausgezeichnet ist.
Es liegt somit auf Qr0 eine zu einer Teilfolge von (0^*) kon-
jugierte Punktfolge. Eine solche muß aber in Ay enthalten sein.
Ganz entsprechend können wir nachweisen, daß auf jedem Quer-
schnitt Qv0+v, welcher das Teilgebiet ®r0+v der Kette (®r) bestimmt,
eine zu einer Teilfolge von (0'*) konjugierte und somit in Ay ent-
haltene Punktfolge liegen muß. Bezeichnen wir mit Eg* das Prim-
ende, gegen welches die Punktfolge (0'*) konvergiert, und mit
Qip • • • ®*, . . . eine dieses Primende bestimmende Gebiets-
kette, so können wir schließen, da ja Ar wesentlich in enthalten
sein muß, daß eine Punktfolge auf Qr0+r für jedes v im Gebiet &*
enthalten sein muß. Es gilt deshalb jedenfalls • ®* =j= o für
wachsende Werte r. Darnach muß auch
Eg • Edg* + O
und nach der bekannten Eigenschaft der Primenden Eg = Eg* sein.
Dieser Schluß widerspricht der Tatsache, wonach (0^*) nicht gegen
Eg konvergiert.
6. Der zweite Invarianzsatz. Wir beweisen jetzt den Satz:
Ist A eine gegebene topologrsche Abbildung eines beliebigen be-
schränkten räumlichen oder ebenen Gebietes ® auf ein beschränktes
Gebiet ®, so ist für die Invarianz der Primenden der beiden Gebiete
notwendig und hinreichend, daß die durch A (bzw. A^1) gelieferten
Bildkurven je zweier Einschnitte, welche gegen verschiedene Prim-
enden des Gebietes (b (bzw. &j konvergieren, ebenfalls gegen ver-
schiedene Primenden des Gebietes ® (bzw. &) konvergieren und um-
gekehrt (Invarianzsatz II).
x) Es ist ohne weiteres klar, daß die in der Primendentheorie für Strecken-
zugsysteme geltenden Begriffe wörtlich auch für Wegsysteme (in welchen an Stelle
von Streckenzügen Wege treten) gültig sind.
Boris Kaufmann :
zum Satz VIII). Wir durchlaufen die Kurve C für jedes n vom
Punkt Oq* ab in der Richtung nach dem Gebietsrand T bis zum
ersten Schnittpunkt mit dem das Gebiet bestimmenden Quer-
schnitt Qv0. Den durchlaufenen Teil der Kurve C bezeichnen wir
für jedes n mit c£°. Wir betrachten jetzt die Folge der Wege
p/o — pU) U'0 p”o
deren Grenzgebilde Tcv0 sei. Da nun eine jede in Cr° gegen Tcr0
konvergierende Punktfolge auf C aber außerhalb Qh0 liegt, so können
wir sofort folgern, daß in dem Wegsystem1) Cr° keine a-Punktfolgen
konvergieren können, was aber besagt, daß C’'0 ausgezeichnet ist.
Es liegt somit auf Qr0 eine zu einer Teilfolge von (0^*) kon-
jugierte Punktfolge. Eine solche muß aber in Ay enthalten sein.
Ganz entsprechend können wir nachweisen, daß auf jedem Quer-
schnitt Qv0+v, welcher das Teilgebiet ®r0+v der Kette (®r) bestimmt,
eine zu einer Teilfolge von (0'*) konjugierte und somit in Ay ent-
haltene Punktfolge liegen muß. Bezeichnen wir mit Eg* das Prim-
ende, gegen welches die Punktfolge (0'*) konvergiert, und mit
Qip • • • ®*, . . . eine dieses Primende bestimmende Gebiets-
kette, so können wir schließen, da ja Ar wesentlich in enthalten
sein muß, daß eine Punktfolge auf Qr0+r für jedes v im Gebiet &*
enthalten sein muß. Es gilt deshalb jedenfalls • ®* =j= o für
wachsende Werte r. Darnach muß auch
Eg • Edg* + O
und nach der bekannten Eigenschaft der Primenden Eg = Eg* sein.
Dieser Schluß widerspricht der Tatsache, wonach (0^*) nicht gegen
Eg konvergiert.
6. Der zweite Invarianzsatz. Wir beweisen jetzt den Satz:
Ist A eine gegebene topologrsche Abbildung eines beliebigen be-
schränkten räumlichen oder ebenen Gebietes ® auf ein beschränktes
Gebiet ®, so ist für die Invarianz der Primenden der beiden Gebiete
notwendig und hinreichend, daß die durch A (bzw. A^1) gelieferten
Bildkurven je zweier Einschnitte, welche gegen verschiedene Prim-
enden des Gebietes (b (bzw. &j konvergieren, ebenfalls gegen ver-
schiedene Primenden des Gebietes ® (bzw. &) konvergieren und um-
gekehrt (Invarianzsatz II).
x) Es ist ohne weiteres klar, daß die in der Primendentheorie für Strecken-
zugsysteme geltenden Begriffe wörtlich auch für Wegsysteme (in welchen an Stelle
von Streckenzügen Wege treten) gültig sind.