Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw. 13

Die Abbildung A, welche der Bedingung dieses Satzes genügt,
bezeichnen wir mit Ab und ihre Inverse mit Ap-1-
Die Notwendigkeit dieser Invarianzbedingung folgt unmittel-
bar aus dem einfachen Invarianzsatz I. Es kommt also tatsächlich
nur darauf an, zu zeigen, daß die Bedingung auch hinreichend
ist. Dies gelingt uns im wesentlichen auf Grund des Hilfssatzes 2.
Es sei Eg ein beliebiges Primende des Gebietes & von der
Ordnung r. Angenommen, es gibt zwei zueinander fremde, gegen
das Primende Eg konvergierende Punktfolgen Pb, ~P'2, ... P^,
. . . = (Pj und P", Pg, • • • Pq, . . . = (P”), deren Bildpunktfolgen
(P'J und (P") nicht gegen ein und dasselbe Primende des Bilclbe-
reiches ÖJ konvergieren. Es existieren dann [vgl. (1) Ziffer 1| eine
Teilfolge P'*, Pg*, . . . P^*, . . . = (P^*) der Folge (P(J und eine
Teilfolge P"*, P;*, . . . P"*, . . . = (P7) der Folge (P"), welche
gegen zwei verschiedene Primenden Eg und E'^ (von gewisser
Ordnung d und ??) des Bildbereiches konvergieren. Die beiden
Urbildpunktfolgen (P^*) und (Pn*) der Punktfolgen (P^*) und
(Pn*) konvergieren offenbar gegen das Primende Eg. Wir können
deshalb nach dem Verfahren (2) Ziffer 1 eine gegen das Primende
Eg konvergierende Kurve C konstruieren, welche die beiden Punkt-
folgen (Pb*) und (P”*) enthält. C sei die Bildkurve der Kurve C.
Aus der Grundbedingung, welcher die Abbildung Ab genügt, folgt
sofort, daß die (evtl, leere) Gesamtheit aller a-Punktfolgen, welche
auf der Kurve C hegen, gegen ein und dasselbe Primende von 05
konvergieren muß. Anderenfalls könnte nämlich die Urbildkurve C
nicht gegen ein Primende konvergieren. Jetzt machen wir von dem
Hilfssatz 2 Gebrauch. Danach muß die Kurve C gegen ein und
dasselbe Primende konvergieren, was aber unmöglich ist, da die
beiden auf 0 liegenden ■ Punktfolgen (P^*) und (P”*) gegen ver-
schiedene Primenden konvergieren. Es ist somit gezeigt, daß die
Bildpunktfolgen zweier gegen Eg konvergierenden Punktfolgen
gegen ein Primende des Bildbereiches konvergieren.
Aus dem letzten Schluß folgt auch sofort, daß die Bildpunkt-
folge (Pn) einer gegen ein Primende Eg konvergierenden Punkt-
folge (Pn) immer gegen ein Primende des Bildbereiches konvergieren
muß. Es gäbe sonst zwei verschiedene gegen Eg konvergierende
Teilfolgen von (Pn), deren Bildpunktfolgen gegen verschiedene
Primenden des Bildbereiches konvergieren müßten.