Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Jänecke:

das „Achtzell“, „ Vierundzwanzigzell“ und „Hundertzwanzigzell“
haben die regulären Körper: Würfel, Oktaeder und Pentagondodeka-
eder als Grenzkörper. Ein reguläres vierdimensionales Gebilde,
das als „Begrenzung“ Ikosaeder hat, gibt es nicht. Diese Ge-
bilde sind verschiedentlich untersucht worden1). In gleicher Art,
wie die Verbindung dreier gl eich weit voneinander entfernter
Punkte ein reguläres Dreieck und die Verbindung vier gleich-
weit voneinander entfernter Punkte ein reguläres Tetraeder er-
gibt, führt die Verbindung von fünf gl eich weit voneinander ent-
fernten Punkten zu einem regulären vierdimensionalen Gebilde
mit fünf Ecken. Dieses Gebilde ergibt sich lediglich durch die
Vorschrift, daß von fünf Punkten jeder Punkt von jedem anderen
gleich weit entfernt ist. Drei gleichweit voneinander entfernte
Punkte liegen in einer Ebene, vier Punkte müssen, um gleich-
weit voneinander entfernt zu sein, im Raume liegen, und fünf
Punkte können nur in einem vierdimensionalen Raume gleich-
weit voneinander entfernt sein. Es ergibt sich also ein reguläres
vierdimensionales Fünfeck (Pentagon), das aus den angegebenen
Gründen Fünf zell genannt wird.
Das reguläre Dreieck und das reguläre Tetraeder sind sinn-
lich vorstellbar, dagegen nicht das reguläre vierdimensionale Fünf-
zell mit fünf gleichweit voneinander entfernten Ecken. Trotzdem
läßt sich über dieses geometrisch etwas aussagen, was man sich
sinnlich vorstellen kann.
Verbindet man im regulären Tetraeder je drei von den vier
Eckpunkten miteinander, so erhält man vier reguläre Dreiecke,
welche das Tetraeder begrenzen. In gleicher Weise erhält man
reguläre Tetraeder, wenn man von den fünf gleichweit voneinander
abstehenden Punkten des regulären vierdimensionalen Fünfzells
je vier miteinander verbindet. Da die fünf Punkte alle voneinander
gleichweit entfernt sein sollen, müssen es natürlich auch je vier sein.
Ihre Verbindung führt alsdann zu einem regulären Tetraeder. Wie
die regulären Dreiecke Grenzflächen des Tetraeders sind, sind also
die regulären Tetraeder Grenz kör per des vierdimensionalen regu-
b Es finden sich Angaben z. B. bei P. H. Schoute, Mehrdimensionale
Geometrie, Leipzig, Göschensche Verlagshandlung 1905, II. Teil, S. 206 u. 220;
R. Weitzenbäck, Der vierdimensionale Raum, Friedr. Vieweg, Braunschweig
1929, Bd. 80 der Sammlung „Die Wissenschaft“; L. Eckhardt, Der vierdimensio-
nale Raum, Math.-phys. Bibi. Bd. 84, 1930, Teubner, Leipzig; E. Steinitz,
Encyklop. d. Math. Wissensch., III A., B. 12, Nr. 50.