Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das reguläre vier dimensionale Fünfzell.

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lären Fünfzells. Die Verbindung von je vier der fünf Punkte
ABC DE führt zu fünf verschiedenen regulären Tetraedern:
ABCD, ABCE, ABDE, ACDE und BCDE (vgl. Fig.
3a, b, c, d und e). Das sinnlich unvorstellbare reguläre vierdimen-
sionale Gebilde, gewonnen durch Verbindung von fünf gleichweit
voneinander abstehenden Punkten, wird also begrenzt von fünf
regulären, sinnlich erkennbaren Tetraedern. Wie nun ein Tetraeder
auf eine Grenzfläche projiziert werden kann, ist auch die Pro-
jektion des regulären vierdimensionalen Fünfzells auf ein Grenz-
tetraeder möglich. Von den fünf Eckpunkten projizieren sich
alsdann vier als Eckpunkte des Tetraeders, gerade 'wie bei der
Projektion der Eckpunkte eines Tetraeders auf ein begrenzendes
reguläres Dreieck, dessen drei Eckpunkte mit drei Projektions-
punkten des Tetraeders identisch sind. Es handelt sich in beiden
Fällen also noch um die Projektion des letzten Punktes, um eine
vollständige Projektion zu bekommen. Eine besondere, nämlich
senkrechte Projektion ist beim Tetraeder die, bei der der vierte
Punkt in die Mitte des Dreieckes zu liegen kommt. In gleicher
Weise führt eine „senkrechte“ Projektion des fünften Punktes
des vierdimensionalen Fünfzells zu dessen Lage in der Mitte des
begrenzenden Tetraeders.
Ein körperliches reguläres Tetraeder mit einem Punkt in
der Mitte, der mit den vier Eckpunkten verbunden ist, ist also
eine „senkrechte“ Projektion des vierdimensionalen Fünfzells auf
das eine „Grenztetraeder“, das in natürlicher Größe abgebildet
ist. Im vierdimensionalen Kaum sind alle Kanten gleichlang,
nicht in der Projektion. Durch die „senkrechte“ Projektion des
Fünfzells auf das eine Grenztetraeder werden die übrigen Wer
Grenztetraeder als dreiseitige reguläre Pyramiden abgebildet- mit
der Spitze in der Mitte des Grenztetraeders, auf das das vier-
dimensionale Fünfzell projiziert ist. Man erkennt, daß die „Räume“
von vier Grenztetraedern zellenartig aneinander liegen und daß das
Grenztetraeder, auf das projiziert wurde, die anderen vier Grenz-
tetraeder umfaßt, indem es von ihnen vollständig ausgefüllt wird.
Geradeso enthält bei der Projektion eines regulären Tetraeders
auf ein begrenzendes reguläres Dreieck dieses die anderen drei
projizierten begrenzenden Dreiecke. (Die körperliche Figur des
Tetraeders mit einem Mittelpunkte ist, wenn es in der Ebene ge-
zeichnet wird, natürlich wieder eine andere, also eine zweite Pro-
jektion.) Ein Tetraeder mit einem Mittelpunkt ist also die Projek-