Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das reguläre vierdimensionale Fünf zell.

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das in der Projektion durch eine dreiseitige Pyramide dargestellt
ist. Diese beiden Durchstoßungspunkte der senkrecht projizierten
Geraden besitzen in bezug auf die zugehörigen Grenztetraeder be-
stimmte Lagen, die in der Fig. la durch eine Schnittebene parallel
einer Grenzebene vermerkt sind. Es ergeben sich als Schnitt-
figuren dieser Ebene zwei reguläre Dreiecke Ä Cm- B Cm- I) Cm
und A Cn- B Cn- D Cn. Wählt man ein anderes Tetraeder, auf
das das Fünfzell projiziert wurde, z. B. ACDE (vgl. Fig. lb),
so liegen diese beiden Durchstoßungspunkte P und Q jetzt nicht
mehr in einem Punkte (in vollständiger Analogie mit der Projektion
einer Senkrechten in einem räumlichen Tetraeder auf eine Seiten-
fläche). In diesem Grenztetraeder wird die Gerade durch das vier-
dimensionale Fünfzell, die in der ersten Projektion durch einen
Punkt dargestellt ist, wiederum durch eine Gerade (P Q) abgebildet,
wobei, um ihre Lage zu erkennen, die beiden Schnittpunkte P und Q
mit dem zugehörigen Grenztetraeder angegeben sein müssen. Ein
Punkt (B) auf einer solchen Geraden ist alsdann ein Punkt im
vierdimensionalen Fünfzell. Es kann ein Punkt (B) des Fünf-
zells also in dessen Projektion auf ein Grenztetraeder (A C D E)
eindeutig angegeben werden durch seine Lage auf einer Geraden
(P Q), deren Schnittpunkte (P und Q) mit den betreffenden Grenz-
tetraedern vermerkt sind. Die Lage eines Punktes im Fünfzell kann
natürlich auch noch in anderer Weise durch je einen Punkt in zwei
Projektionen des Fünfzells auf zwei verschiedene Grenztetraeder
angegeben werden. Allerdings können nicht willkürlich zwei Punkte
gewählt werden, so wenig wie dieses auch bei Punkten im körper-
lichen Tetraeder für ihre senkrechten Projektionen auf zwei Seiten-
flächen der Fall ist.
Ein Punkt im vierdimensionalen Fünfzell ist durch vier
Koordinaten vollständig bestimmt und kann hiermit, wie aus dem
Vorhergehenden unmittelbar hervorgeht, konstruiert werden, indem
zwei Grenztetraeder gezeichnet werden, die als Koordinaten des dar-
gestellten Punktes die dem betreffenden Grenztetraeder zugehörigen
drei Koordinaten enthalten. In den beiden Fig. la und lb ist die
Darstellung des Punktes so angegeben, wie es für eine Anwendung
auf chemische Mischungen vielfach am bequemsten sein wird. Der
Punkt E als Mischung Av Bw Cx Dy Ez gedacht, stellt ein Gemisch
von P und Q nach Maßgabe der Längen p und q dar. Hierbei
sind P in bezug auf A Cm, B Cm, D Cm, und Q in bezug auf A En,
B En, D En gleichartig zusammengesetzt. Die Mengen dieser Bestand-