Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Jänecke:

Fig. 5. Projektion der fünf
regulären Tetraeder, mit den
Kantenmittelpunkten als Eck-
punkten im einzelnen darge-
stellt.

tion der Projektion des vierdimensionalen Fünfzells auf das Grenz-
tetraeder ABC D.) Die fünf Punkte A, B, C, D und E sind im
vierdimensionalen Raume gleichweit voneinander entfernt. Die
Halbierungspunkte der zehn möglichen Kanten sind durch I bis X
vermerkt. Die Verbindung von vier Halbierungspunkten auf benach-
barten Kanten führt, wie in Fig. 5 durch
Auseinanderziehen der sich bildenden
Körper nochmals gezeichnet ist, zu fünf
verschiedenen Tetraedern. Eines von
diesen mit den Kanten IV, VII, IX, X
bildet sich gleichartig dem Grenztetra-
eder ebenfalls als reguläres Tetraeder ab.
Die übrigen vier, die in Wirklichkeit
auch reguläre Tetraeder sind, bilden sich
bei dieser Projektion auf das Grenz-
tetraeder A B C D nicht als solche ab.
Jedes von ihnen würde aber ein regu-
läres Tetraeder ergeben, wenn das ent-
sprechende Grenztetraeder als Pro-
jektion des vierdimensionalen Fünfzells
gewählt würde. Außer diesen ebenen
Mittelschnitten durch das Fünfzell, die reguläre Tetraeder sind,
gibt es noch andere. Dieses folgt unmittelbar schon daraus, daß
sich ein weiterer Schnittpunkt zwangsläufig ergibt, wenn von den
vier Kantenmittelpunkten, durch die die Schnittebene gelegt werden
soll, drei Punkte in bestimmter Art auf einem Grenztetraeder liegen.
Die Grenztetraeder gehören zu dem vierdimensionalen Fünfzell,
und die vierten Schnittpunkte auf den Kanten, die bei drei ge-
wählten Punkten der Grenztetraeder sich zwangsläufig ergeben, tun
dies selbstverständlich auch im vierdimensionalen Fünfzell.



Um die zweite Art Mittel schnitte zu erhalten, dürfen nicht
vier Punkte gewählt werden, die auf Kanten mit gemeinsamem
Eckpunkt liegen. Geradesowenig ergeben sich im regulären Tetra-
eder quadratische Schnittfiguren, wenn die schneidende Ebene
durch drei Punkte geht, die auf Kanten mit gemeinsamem Eck-
punkt liegen. Um also zu dieser anderen Art von Schnittfiguren
im Fünfzell zu kommen, kann man ausgehen von drei Punkten
auf Kanten mit einem gemeinsamen Eckpunkt. Als vierten
Punkt hat man einen solchen zu wählen, der, wie angegeben,
nicht auf dem gleichen Grenztetraeder liegt. Um Schnittfiguren