Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das reguläre vierdimensionale Fünf zell.

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durch das Fünfzell zu erhalten, darf z. B. bei der Wahl der Punkte
I, II und III als vierter Punkt (vgl. Fig. 3a) nicht V, VI oder
VIII gewählt werden. In diesem Falle führt ferner Punkt IV zu
einem der schon erörterten Tetraeder, kommt also für die Kon-
struktion einer neuen Schnittfigur auch nicht in Frage. Es bleibt
also nur einer der Punkte VII, IX, X als vierter Punkt übrig. Wählt
man einen von diesen, so ergeben sich die beiden anderen zwangs-
läufig als weitere Schnittpunkte durch die entsprechenden Grenz-
tetraeder. Dieses zeigen deutlich die Fig. 3 a, b, c, d, e der Tetraeder.
Wird zu den Punkten I, II, III z. B. VII als vierter Punkt gewählt,
durch den eine Ebene im vierdimensionalen Raum gelegt werden
soll, so ergibt eine Ebene durch die drei Punkte I, II, VII (Fig. 3b)
als Schnittpunkt IX und eine Ebene durch I, III, VII (Fig. 3c)
als Schnittpunkt X. Die Fig. 3d zeigt alsdann, daß aus II, III mit
IX, X ein weiterer quadratischer Schnitt entsteht, und Fig. 3e, daß
die drei Punkte VII, IX, X ein reguläres Dreieck darstellen. Es
ergibt sich folgerichtig beim Durchschneiden des vierdimensionalen
Fünfzells durch die gewählten vier Halbierungspunkte der Kanten,
von denen drei benachbart sind, ein dreiseitiges reguläres Prisma
mit sechs Ecken, zwei regulären Dreiecken und drei Quadraten
als Begrenzungsflächen. Jedes der fünf Grenztetraeder enthält eine
der fünf Begrenzungsflächen, nämlich entweder eines der beiden
regulären Dreiecke oder eines der drei Quadrate, wie dieses für
das Beispiel der Punkte I, II, III, VII, IX, X angedeutet ist.
Die Anzahl der verschiedenen dreiseitiger Prismen durch die
zehn Halbierungspunkte der Kanten ist leicht festzustellen bei Bezug
auf die beiden regulären Dreiecke, die sich in den zugehörigen beiden
Grenztetraedern bilden. Die den drei Eckpunkten dieser Dreiecke
zugehörigen Fünfzellkanten haben je einen Eckpunkt gemeinsam.
A

Es läßt sich ein bestimmtes Prisma dadurch schreiben als BCD,

Prismas, die auf den Kanten

E
was bedeuten soll, daß die gemeinsamen Eckpunkte dreier Kanten
A und E und die anderen drei Eckpunkte B, C, D sind. Die Eck-
punkte des einen Dreiecks liegen alsdann auf AB, A C, AD, die
des anderen auf E B, E C und E D. Dadurch ergeben sich gleich-
zeitig die Eckpunkte der seitlichen drei Quadrate des dreiseitigen
AB AC AB AD AC AD
--und-
EB EC EB ED EC ED