Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

20 Ernst Jänecke: Über das reguläre vierdimensionale Fünfzell.
sionales Gebilde gibt, von dem mancherlei ausgesagt werden kann
und das z. B. durch parallele ebene Schnitte eine Reihe sinnlich
erkennbarer Körper ergibt, so könnte die schon häufiger gestellte
Frage aufgeworfen werden: „Hat der vierdimensionale Raum
reale Wirklichkeit?“ Allerdings müßte vorher noch die Frage
entschieden werden, ob der Raum überhaupt ohne ihn erfüllende
Körper gedacht werden kann. Die konstruierbaren Schnittkörper
durch das vierdimensionale Fünfzell haben reale Existenz und
ihre Summe umfaßt alle möglichen Punkte des vierdimensionalen
Gebildes. Man könnte daraus den Schluß ziehen, daß auch die
vierte Raumdimension reale Wirklichkeit besäße, indem man sagt:
,.Lassen sich sämtliche Teile herstellen, so gibt es auch das Ganze!“
Andererseits läßt sich aber gerade sagen, daß eine vierte Dimension
des Raumes nicht vorhanden sein kann, da zwar parallele Schnitt-
körper durch ein vierdimensionales Gebilde herstellbar sind, es aber
praktisch nicht möglich ist, diese Teile zu einem vierdimensionalen
Gebilde zusammenzusetzen. Das vierdimensionale Gebilde wäre
danach nur ein mathematisch vorstellbares und kein reales Gebilde.

Zusammenfassung.
Die Aufgabe, ein Gebilde zu konstruieren, das durch fünf
gegenseitig voneinander gl eich weit abstehende Punkte definiert
ist, führt zu einem sinnlich nicht vorstellbaren, regulären, vier-
dimensionalen fünfeckigen Gebilde. Dieses ist das einfachste der
regulären vierdimensionalen Gebilde (Zelle). Das „Fünfzell" hat
als Grenz kör per fünf reguläre Tetraeder analog dem gewöhnlichen
regulären Tetraeder, das vier reguläre Dreiecke als Grenzflächen
hat. Über die Geraden und Flächen im Fünfzell wurden An-
gaben gemacht. Die Konstruktion von Mittelschnitten durch
das vierdimensionale Fünfzell, die entstehen, wenn Ebenen durch
die Halbierungspunkte von vier Kanten gelegt werden, führt zu
fünf verschiedenen regulären Tetraedern oder zu zehn verschiedenen,
regelmäßig gleichseitigen Prismen. Bei Verschiebung der Schnitt-
ebene entstehen andere Schnittkörper, die angegeben wurden.
Die durch parallele Verschiebung entstehenden Körper enthalten
zusammen alle' Punkte des vierdimensionalen Gebildes. Werden
parallele Ebenen schief durch das Fünfzell gelegt, so entstehen
unregelmäßige Tetraeder, vierseitige Pyramiden oder dreiseitige
Prismen. Auf andere Konstruktionen wurde hingewiesen.